数学の質問です。

添付した図に於いて、

半径 $a$ の円と線分 $OB$ の交点を通る半径 $a$ の円の接線が点 $H$ を通ると分かるのはなぜですか？

（半径 $a$ の円と線分 $OB$ の交点と点 $H$ を通る直線が半径 $a$ の円と2点で交わるのではなく、接線であると分かるのはなぜですか？）

回答宜しくお願いします。

回答 1件

ベストアンサー

点Aにおける接線の方程式は

$(a\cos\theta) x+(a\sin\theta) y=a^2$

です。この式が $x$ 軸と交わるのは $y=0$ のときであり、そのとき $x$ 座標は $x=\cos\theta$ ですから点Hのことですね。

DoubleExpYui 2023/10/15

点Bの位置はあまり気にしなくていいと思います。偏角が $\theta$ です。
kakko_pn 2023/10/15

接線が $(\frac{a}{\cos\theta},0)$ を通ると言うのは分かりましたが、なぜ点 $(\frac{a}{\cos\theta},0)$ が点 $H$ （点 $P$ の $x$ 座標）を通ると分かるのでしょうか？
DoubleExpYui 2023/10/18

一応確認ですが、これ双曲線についての画像であってますよね？
双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{x^2}=1$ について
$x=\dfrac{a}{\cos \theta}$ のとき $y=b\tan\theta$ です。(計算省略)

この画像は、双曲線に対して原点中心、半径 $a,b$ の2円を考えるとこんなふうになりますよ、というものかと思います。
kakko_pn 2023/10/18

双曲線の画像で合って居ます。双曲線の媒介変数表示は確かに普通は三角関数の相互関係から導出すると思いますが、図形的に？幾何的に？導出することも出来るそうなので、ネットで探したら、添付した画像が見付かりました。線がたくさんあって、しかも、途中過程がなく、結果だけなので、良く分からない、、、と言う感じですね、、、
もう自分だけではどうしようもないので、画像がどうなっているか解説して頂けませんか😭