傍線部はどうやって思いつきますか？また、この難しい問題から何を得たらいいですか？

$b_n/n$の極限値がわかれば、その逆数が求める極限です。よって以下では$b_n/n$の極限を考えています。

$b_n<c_n$かつ$$\lim_{n \to \infty} \dfrac{c_n}{n}= 2$$

となる$c_n$があれば

$$\dfrac{2n}{n}< \dfrac{bn}{n}<\dfrac{c_n}{n}$$で挟み撃ちが使えます。

ここで$c_n/n→2$$(n→∞)$ になる数列の候補として$c_n=2n+f(n)$($f(n)$は$n$より増大度の低いもの)という形が思いつくと思います。ただし、あまり$f(n)$がゆっくり増大するものだと$b_n$より大きいという条件を満たさなくなります。そこで扱いやすく、ちょうどいい増大度の$f(n)=√n$を考えてみようとなると思います。

もっといい考え方があったらごめんなさい。