逆関数についてですが、なぜ、(f(x),x)はx=f(y)上にあると言えるのですか？

本当であれば、$(f(x),x)$は点であることを分かり易くするために、$x$とは別の$t$なんかを使って、$(f(t).t)$などと言った方がいいのですが、まあほぼ同じです。以下では点$(f(t),t)$で説明します。

点$(s,t)$がグラフ$y=f(x)$上にあるとは、$s$を$x$に、$t$を$y$に代入した式$t=f(s)$が成立することを指します。

例)

点$(2,5)$が$y=x^2+1$上にあるのは、

$5=2^2+1$が成り立つから。

また、$x=f(y)$の場合についても同様で、今度は$s=f(t)$が成立することを証明すれば、$(s,t)$がグラフ$x=f(x)$上にあることを示せます。

この方針に則って、$(f(t),t)$が$x=f(y)$上にあること言うには、$x$に$f(t)$を、$y$に$t$を代入した式が成立すればいいということです。

実際に代入してみると式は$f(t)=f(t)$となり、当然成立します。