数学の質問です。

結論から言うと、$p,q$が命題であるとき$\overline{p} \lor q$は命題になります。

例えば、$p:3×9=27,q:\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=2$としましょう。このとき、$p$は真、$q$は偽と明確に決まるので$p,q$は命題です。そして、$\overline{p} \lor q$は「$p$でない　または　$q$である」$p$でないは偽、$q$は偽なので$\overline{p} \lor q$は偽となります。真偽が明確に決まったので$\overline{p} \lor q$は命題ですね。

$\overline{p} \lor q$が条件であるときというのは、「$p,q$が条件であるとき」です。例えば、$p:x>2,q:x>5$とすると$\overline{p} \lor q$は「$x>2$でない　または　$x>5$」 すなわち「$x≦2$ または $x>5$」となり、これは$x$が決まれば真偽が定まるので条件となります。

$p,q$が条件であるときは、$p \Rightarrow q$も条件となります。

先ほどの条件$p,q$をそのまま使うと、$p \Rightarrow q$は「$x>2 \Rightarrow x>5$」となり、これは一見偽の命題のようですが$x$が決まれば$\Rightarrow$の左右の真偽が決まり、全体としての真偽も定まるので条件となります。

この$x>2 \Rightarrow x>5$というのは偽の命題であると勘違いする人が多いと思います。($x=3$などが反例だ、という議論)しかし、これを命題だととらえている人は$x>2 \Rightarrow x>5$というものを「任意の実数$x$に対して、$x>2 \Rightarrow x>5$」という命題としてとらえているのだと思います。(これは実際に偽の命題です。)

まとめると、「$p \Rightarrow q$は命題」そして「$\overline{p} \lor q$は条件」という部分が間違っている、ということです。(どちらも$p,q$が命題か条件かによって命題にも条件にもなりえる)　ここさえ理解すればベン図や真偽表を使った説明で理解できると思います。

長文で読む気の失せるような説明になってしまい申し訳ございません。