解説お願いします🙇‍♀️

まず $mg=G\dfrac{Mm}{R^2}\iff GM=gR^2$ です。これはよく出てくる式ですね。

地球を中心とする等速円運動を行うとき、その円運動の半径は $2R$ だから、

$$m\dfrac{v^2}{2R}=G\dfrac{Mm}{4R^2}\iff v=\sqrt{\dfrac{gR}{2}}$$となります。

楕円軌道を描くとき、面積速度を考えて、$$\dfrac{1}{2}\cdot 2R\cdot v=\dfrac{1}{2}\cdot 6R\cdot V \iff V=\dfrac{1}{3}v$$を得ます。したがって力学的エネルギー保存則より、$$\begin{aligned}\dfrac{1}{2}mv^2-G\dfrac{Mm}{2R}&=\dfrac{1}{2}mV^2-G\dfrac{Mm}{6R}\\ \iff v&=\dfrac{\sqrt{3gR}}{2}\end{aligned}$$が得られます。

最後に、物体が地球に衝突するときの物体と地球の距離は $R$ であり、面積速度一定の法則よりその速さは $2v$ です。したがって力学的エネルギー保存則より、

$$\begin{aligned}\dfrac{1}{2}mv^2-G\dfrac{Mm}{2R}&=\dfrac{1}{2}m(2v)^2-G\dfrac{Mm}{R}\\ \iff v&=\sqrt{\dfrac{gR}{3}}\end{aligned}$$となります。

また、無限遠に行く場合は力学的エネルギーは $0$ となります。そのときの $v$ は、

$$\dfrac{1}{2}mv^2-G\dfrac{Mm}{2R}=0 \iff v=\sqrt{gR}$$となります。

よって、求める $v$ の範囲は $\sqrt{\dfrac{gR}{3}}<v<\sqrt{gR}$ となります。