【解答・解説】東大物理2024 第1問 -力学-

I

動摩擦力は A をベルトに対して静止させようとする方向に動くことに注意してください。

(1)物体 A が斜面に上昇しているときの物体にはたらく力を図示してみましょう。以降の力の図示の図では，見やすさのため，力の作用点をずらして書いています。

これより，上図のように $y$ 軸を取り，A の ($x$ 軸方向の) 加速度を $a$ として運動方程式 (運動方程式〜ニュートンの第2法則〜) を考えます。

$$\begin{cases} x: ma = - mg \sin{\theta_1} - \mu' N \\ y: 0 = N - mg \cos{\theta_1} \end{cases}$$

$y$ 軸方向についての力のつりあいより

$$N = mg \cos{\theta_1}$$

がわかります。これより

$$ma = - mg \sin{\theta_1} - \mu' mg \cos{\theta_1}$$

$$\therefore a = - g (\sin{\theta_1} + \mu' \cos{\theta_1})$$

上昇して止まるまでの A の速度 $v$ および位置 $x$ は，等加速度運動の公式 (等加速度運動・等加速度直線運動の公式) より

$$v = a t + v_0, x = \dfrac{1}{2} a t^2 + v_0 t$$

ここで，最高点に到達したときの時刻を $t_0$ とすると

$$t_0 = - \dfrac{v_0}{a} \left( = \dfrac{v_0}{g} \dfrac{1}{\sin{\theta_1} + \mu' \cos{\theta_1}} \right)$$

したがって，最高点の座標 $x_1$ は

$$\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{1}{2} a \left( - \dfrac{v_0}{a} \right)^2 + v_0 \left(- \dfrac{v_0}{a} \right) \\ &= - \dfrac{1}{2} a \left( - \dfrac{v_0}{a} \right)^2 \\ &= - \dfrac{1}{2} \dfrac{v_0^2}{a} \\ &= \dfrac{1}{2} \dfrac{v_0^2}{g} \dfrac{1}{\sin{\theta_1} + \mu' \cos{\theta_1}} \end{aligned}$$

と求められます。

(2)物体が最高点に到達してから，ベルトを下降することを考えます。このときの A の運動方程式を考えます。(1)とは動摩擦力の向きが逆になっていることに注意してください。

$$\begin{cases} x: ma' = \mu'N - mg \sin{\theta_1} \\ y: 0 = N - mg \cos{\theta_1} \end{cases}$$

これより，下降するときの加速度は

$$a' = g (\mu' \cos{\theta_1} - \sin{\theta_1}) = - g (\sin{\theta_1} - \mu' \cos{\theta_1})(< 0)$$

時刻 $t' = t - t_0$ での運動を考えると，$t' = 0$ での速度と位置はそれぞれ $v = 0, x = x_1$ となっているので，

$$v = a' t', x = \dfrac{1}{2} a' t'^2 + x_1$$

再び $x = 0$ に戻るときの時刻を $t' = t'_0$ とすると

$$t' = \sqrt{- \dfrac{2 x_1}{a'}}$$

このときの速度が求める速度であり

$$\begin{aligned} v &= a' \sqrt{- \dfrac{2 x_1}{a'}} \\ &= - \sqrt{-2 a' x_1} \\ &= - \sqrt{-2 a' \dfrac{1}{2} \dfrac{v_0^2}{a}} \\ &= - v_0 \sqrt{- \dfrac{a'}{a}} \\ &= - v_0 \sqrt{\dfrac{\sin{\theta_1} - \mu' \cos{\theta_1}}{\sin{\theta_1} + \mu' \cos{\theta_1}}} \end{aligned}$$

II

II では記号の意味を取り直します。

(1)物体 A の速度 $v$ がベルトの速度 $V$ より遅いとき，動摩擦力は，A をベルトに対して静止させるために，$x$ 軸正の向きにはたらきます。

運動方程式より

$$x: ma = \mu' mg \cos{\theta_2} - mg \sin{\theta_2}$$

$$\therefore a = g (\mu' \cos{\theta_2} - \sin{\theta_2})$$

これより物体 A の速度がベルトの速度 $V$ より遅いときの速度は

$$v = a t = g (\mu' \cos{\theta_2} - \sin{\theta_2}) t$$

A の速度がベルトと一致するときの時刻 $t = t_c$ を求めます。

$$t_c = \dfrac{V}{g} \dfrac{1}{\mu' \cos{\theta_2} - \sin{\theta_2}}$$

時刻 $t \geq t_c$ では，物体 A はベルトに対して静止するため，摩擦力は動摩擦力ではなく静止摩擦力が生じます。$x$ 軸方向には静止摩擦力と重力(の $x$ 軸成分)しかはたらかないため，$x$ 軸方向でも力のつりあいが成り立ち，これ以降 A は速度 $V$ で等速直線運動を続けます。

以上をまとめると，物体 A の時刻 $t$ での速度は

$$v = \begin{cases} g (\mu' \cos{\theta_2} - \sin{\theta_2}) t \left( t \leq \dfrac{V}{g} \dfrac{1}{\mu' \cos{\theta_2} - \sin{\theta_2}} \right) \\ \\ V \left( t \geq \dfrac{V}{g} \dfrac{1}{\mu' \cos{\theta_2} - \sin{\theta_2}} \right) \end{cases}$$

となります。

(2)まず，下降しているときの運動を考えます。このとき A の速度は $- v_0 \leq v \leq 0 (< V)$ であり，動摩擦力は常に $x$ 軸正の向きにはたらきます。したがって運動方程式から求められる加速度は(1)と同じ

$$a = g (\mu' \cos{\theta_2} - \sin{\theta_2})$$

となります。

次に上昇しているときの運動を考えます。速度が $0 \leq v < V$ の間は，動摩擦力が $x$ 軸正の向きにはたらきますが，$v = V$ となった瞬間に A はベルトと同じ速度で等速直線運動をすることに注意します。$0 \leq v < V$ では得られる運動方程式は下降しているときと同じであり，

$$a = g (\mu' \cos{\theta_2} - \sin{\theta_2})$$

したがって，$v < V$ の間はこの $a$ を用いて

$$v = a t - v_0, \, x = \dfrac{1}{2} a t^2 - v_0 t \tag{☆}$$

と表されます。

まず，$v = V$ となる時刻 $t = t_c'$ を求めます。

$$V = a t_c' - v_0$$

$$\therefore t_c' = \dfrac{v_0 + V}{a}$$

次に，$x = 0$ に戻るまでの運動が常に (☆) であると仮定したときの，$x = 0$ に戻る時刻 $T (> 0)$ を求めます。

$$0 = \dfrac{1}{2} a T^2 - v_0 T = T \left( \dfrac{1}{2} a T - v_0 \right)$$

$$\therefore T = \dfrac{2 v_0}{a} < t_c' \, (\because v_0 < V)$$

よって，斜面を下降してから $x = 0$ に戻るまでの運動は常に (☆) 式で記述されることがわかります。求める速度 $v$ は $t = T$ のときの速度であり

$$v = a T - v_0 = a \dfrac{2 v_0}{a} - v_0 = v_0$$

となります。

III

(1)物体 A および B は速度 0 で $x$ 軸に対して静止しており，物体 A には $x$ 軸正の方向に動摩擦力がはたらくことに注意してください。

物体 B に対して $x$ 軸方向の力のつりあいより

$$k d_0 = mg \sin{\theta_3}$$

$$\therefore d_0 = \dfrac{mg}{k} \sin{\theta_3}$$

(2)物体 Aに対して $x, y$ 軸方向の力のつりあいより

$$\begin{cases} x: \mu' N = mg \sin{\theta_3} + k d_0 = 2mg \sin{\theta_3} \\ y: N = mg \cos{\theta_3} \end{cases}$$

これらより $\mu'$ について解いて

$$\mu' = \dfrac{2 mg \sin{\theta_3}}{N} = 2 \tan{\theta_3}$$

(3)物体 A，B およびばねの系の運動を考えます。時刻 $0 < t < t_1$ では物体 A には $x$ 軸正の方向に動摩擦力がはたらきます。

物体 A，B およびばねの系での $x$ 軸方向の運動方程式より

$$2m a = \mu' N_A - 2mg \sin{\theta_3} = 2 N_A \tan{\theta_3} - 2mg \sin{\theta_3}$$

$$\therefore ma = N_A \tan{\theta_3} - mg \sin{\theta_3}$$

物体 A の $y$ 軸方向の力のつりあいより

$$N_A = mg \cos{\theta_3}$$

したがって

$$ma = mg \cos{\theta_3} \tan{\theta_3} - mg \sin{\theta_3} = mg \sin{\theta_3} - mg \sin{\theta_3} = 0$$

$$\therefore a = 0$$

したがって，物体 A，B およびばねの系の重心 G は初速度のまま等速直線運動を行います。したがって時刻 $0 < t < t_1$ での重心 G の速度 $v_G$ は

$$v_G = \dfrac{v_A + v_B}{2} = \dfrac{V}{2}$$

となります。

(4)重心 G から見た物体 A，B の運動は単振動となることを用います。ここで，G から見た A および B の初速度はそれぞれ $- V/2, V/2$ であり，質量も等しいため，G から見た A および B の変位は逆方向で絶対値は同じであることがわかります。G から見た B の変位を $\tilde{x_B}$ とすると，B の運動方程式は

$$m \ddot{\tilde{x_B}} = - 2 k \tilde{x_B} - mg \sin{\theta_3} = -2 k \left( \tilde{x_B} + \dfrac{mg}{2 k} \sin{\theta_3} \right)$$

よって，G から見た B の運動は，$- \dfrac{1}{2} d_0 = - \dfrac{mg}{2 k} \sin{\theta_3}$ を中心とした $\omega^2 = \dfrac{2k}{m}$ の単振動をすることがわかります。

G から見た B の速度 $\tilde{x_B}$ および位置 $\tilde{v_B}$ は

$$\tilde{x_B} = A \sin{\omega t} - \dfrac{1}{2} d_0, \, \tilde{v_B} = A \omega \cos{\omega t}$$

初期条件は，時刻 $t = 0$ で $\tilde{v_B} = \dfrac{V}{2}$ より

$$A \omega = \dfrac{V}{2} \, \therefore A = \dfrac{1}{2} \dfrac{V}{\omega}$$

よって，静止系から見たときの時刻 $0 < t < t_1$ における B の速度 $v_B$ は

$$v_B = \tilde{v_B} + v_G = \dfrac{V}{2} \left( 1 + \cos{\sqrt{\dfrac{2k}{m}} t} \right)$$

と求められます。

また，G から見た A の速度 $\tilde{x_A}$ および位置 $\tilde{v_A}$ は

$$\tilde{x_A} = - \tilde{x_B} = - A \sin{\omega t} + \dfrac{1}{2} d_0, \, \tilde{v_A} = - \dfrac{V}{2} \cos{\omega t}$$

静止系から見た A の速度 $v_A$ は

$$v_A = \tilde{v_A} + v_G = \dfrac{V}{2} (1 - \cos{\omega t})$$

時刻 $t = t_1$ で $v_A = V$ となるので

$$\cos {\omega t_1} = -1 \, \therefore \omega t_1 = \pi$$

これより

$$t_1 = \dfrac{\pi}{\omega} = \pi \sqrt{\dfrac{m}{2k}}$$

と求められます。

(5)A およびばねは時刻 $t > t_1$ で常にベルトと同じ速度 $V$ で動きます。これらの系から見た B の運動はやはり単振動となります。このとき A およびばねの系から見た B の変位が $d$ だけ変化すると，B がばねから受ける力は $kd$ だけ変化します。

ここで，A およびばねの系から見た B の単振動の中心と振幅を考えます。この系で B に対する運動方程式より

$$m \tilde{x'}_B = - k \tilde{x'}_B - mg \sin{\theta_3} = -k \left( \tilde{x'}_B + \dfrac{mg}{k} \sin{\theta_3} \right) = -k (\tilde{x'}_B + d_0)$$

よって，A およびばねの系から見た B の運動は，$- d_0 = - \dfrac{mg}{ k} \sin{\theta_3}$ を中心とした $\omega'^2 = \dfrac{k}{m}$ の単振動をすることがわかります。

前問同様の議論より，時刻 $t > t_1$ での A およびばねの系から見た B の位置 $\tilde{x'}_B$ および速度 $\tilde{v'}_B$ は

$$\tilde{x'}_B = B \sin{\omega' (t - t_1)} - d_0, \, \tilde{v'}_B = \omega' B \cos{\omega' (t - t_1)}$$

時刻 $t > t_1$ での静止系から見た B の速度 $v_B$ は

$$v_B = \tilde{v'}_B + v_A = \omega' B \cos{\omega' (t - t_1)} + V$$

ここで，時刻 $t = t_1 = \dfrac{\pi}{\omega}$ での静止系から見た B の速度は，(4)の結果より 0 であったことより，上の式で $t = t_1$ として

$$0 = \omega' B + V$$

$$\therefore B = - \dfrac{V}{\omega'}$$

したがって，求める速度 $v_B$ は

$$v_B = V \left( 1 - \cos{\sqrt{\dfrac{k}{m}} (t - t_1)} \right)$$

となります。

(6)静止摩擦力が最大となるときに，最大静止摩擦力 $\mu N$ 以下であれば，A はベルトに対して静止し続けます。

ここで，A にはたらく力は，重力，垂直抗力，(静止)摩擦力，ばねの慣性力だけです。したがって，静止摩擦力が最大となるのは，ばねの慣性力が最も大きく，かつ重力の平行成分と同じ方向にはたらくときです。このときばねののびは最大になっています。

$$\tilde{v'}_B = - V \cos{\omega' (t - t_1)}$$

であり，位置と速度の関係(積分を実行するか，あるいは単振動の公式)より

$$\tilde{x'}_B = - \dfrac{V}{\omega'} \sin{\omega' (t -t_1)} - d_0$$

と求められます。これより単振動の振幅 は $\dfrac{V}{\omega'}$ であり，ばねののびの最大値は $\dfrac{V}{\omega'} + d_0$ であることがわかります。

したがって，A に対する力のつりあいの条件より

$$\begin{cases} x: f = mg \sin{\theta_3} + k \left( \dfrac{V}{\omega'} + d_0 \right) \leq \mu N_A \\ y: N_A = mg \cos{\theta_3} \end{cases}$$

これらより，

$$mg \sin{\theta_3} + k \dfrac{V}{\omega'} + k d_0 = 2 mg \sin{\theta_3} + k \dfrac{V}{\omega'}\leq \mu mg \cos{\theta_3}$$

$$\therefore \mu \geq 2 \tan{\theta_3} + \dfrac{k}{mg} \dfrac{V}{\omega'} \dfrac{1}{\cos{\theta_3}}$$

$\omega' = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$ を代入して

$$\mu \geq 2 \tan{\theta_3} + \sqrt{\dfrac{k}{m}} \dfrac{V}{g} \dfrac{1}{\cos{\theta_3}}$$