ばねの単振動の解説

まず初めに，単振動の定義を確認しましょう。 単振動は， 単振動のまとめ で詳しく解説されているので，ここでは復習にとどめます。

上の運動方程式は2階線形微分方程式と呼ばれる形の微分方程式です。($x$ の微分の階数が高々2次で，xとその微分項の次数が高々1次のため)そして，2階線形微分方程式は，大学数学レベルで詳細な解法が知られいます。解法について詳しく知りたい人は，以下の記事をご覧ください。
微分方程式の解法(同次形・線形微分方程式)

特に，上のような「単振動形型」の解は，以下の形で与えられます。

大学入試などの問題を解くときは，解の形を公式として用いて，単振動の運動を考察していくことになります。

単振動型微分方程式の解 $$x-x_0=a\sin(\omega t+\alpha)$$ はどのような運動を表すでしょうか。
$-1\leq\sin(\omega t+\alpha)\leq 1$ なので，物体は，$x_0-a\leq x\leq x_0+a$ を動きます。より詳しくいうと，$x_0$ を中心として，振幅 $a$ で，正弦波に従って振動することになります。角振動数が分かれば，周期は $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ で求められます。

一般解は上の式で与えられているので，原理的には初期条件を用いて任意定数を求めれば，任意の時刻 $t$ での振動子の位置や速度がわかることになります。

以上で単振動の一般論を簡単に復習しました。筆者の体感では，大学入試で出題される単振動の問題の80%は，ばねの振動です。フックの法則より，バネが物体に及ぼす力は，ばねののびに比例した形，すなわち，自然長からのばねののびを $x$ とすると，$F=kx$ で与えられます。($k$ はばね定数)よって，運動方程式は $$m\ddot x=-kx$$ の形になります。(ばねは物体をのびが0になる方向に戻そうとするので，左辺には負号がつきます。)

単振動型微分方程式の一般形 $$m\ddot x=-m\omega^2(x-x_0)$$ と比較すると，これは角振動数 $\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$ の単振動であることがわかります。

以上の議論を踏まえて，以下の例題を考えてみましょう。

まず，運動方程式を書きます。原点が，ばねが自然長となる点にとられているので，$x$ 座標がそのままばねののびになります。したがって運動方程式は， $$m\ddot x=-kx$$ となります。

この単振動型微分方程式の解は，$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$ とすると， $$x=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$$ となります。ここで $x$ は，$x=a\sin(\omega t+\alpha)$ と書くこともできますが，初期条件を考えるときは $x=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$ の方が使いやすいです。

(1)$t=0,x=0$ を代入すると，$A=0$ がわかります。また， $$\dot x=-\omega A\sin(\omega t)+\omega B\cos(\omega t)$$ なので，$t=0,v=v_0$ を代入すると，$B=\dfrac{v_0}{\omega}$ がわかります。よって求める一般解は， $$x=v_0\sqrt{\dfrac{m}{k}}\sin\left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}t\right)$$ となります。 (2)についても全く同様に計算すると，一般解 $$x=a\cos\left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}t\right)$$ が求まります。

上の問題は，振動中心と自然長の位置が一致する非常に簡単な問題でした。実は，バネ以外の力ががはたらく系では，一般にこのことは成り立ちません。以下の例題を考えてみましょう。

まず(1)から。物理系を考察する時，全ては運動方程式を立てるところから始まります。自然長と原点が一致しているので，物体がばねからうける力は，$-kx$ となります。これと重力を考えると，運動方程式は， $$\begin{aligned} m\ddot x &=-kx+mg\\ &=-k\left(x-\dfrac{mg}{k}\right) \end{aligned}$$ と書くことができます。

続いて(2)です。上の微分方程式の一般解を考えることもできますが，もっと簡単に考えてみましょう。単振動型微分方程式の 一般形 $$m\ddot x=-m\omega^2(x-x_0)$$ と(1)で書いた運動方程式を比較すると，この単振動の振動中心は $x_0=\dfrac{mg}{k}$であることがわかります。また，物体の初期位置は $x=a$ であり，これ以上の $x$ に到達することはありません。よって振幅(=最大変位)は $a-\dfrac{mg}{k}$ となります。

最後に(3)です。この問題も一般解を考えて解いてもいいですが，ここではエネルギー保存を考えてみましょう。系のエネルギーは，重力の位置エネルギー，ばねの位置エネルギー，運動エネルギーの3つです。重力の位置エネルギーの基準点を原点に取り，初期状態と原点通過時のエネルギーを等号で結ぶと， $$\dfrac{1}{2}ka^2-mga=\dfrac{1}{2}mv^2$$ となります。よって $$v=\sqrt{\dfrac{k}{m}a^2-2ga}$$ が求める $v$ となります。