高校数学です。

(2)

$t$ に $\dfrac{x}{n+1}$ を代入すれば、

$$e^{\frac{x}{n+1}}>\dfrac{x}{n+1}\iff e^x>\biggl(\dfrac{x}{n+1}\biggr)^{n+1}$$

が得られます。

(3)

$$e^x>\biggl(\dfrac{x}{n+1}\biggr)^{n+1} \iff 0<\dfrac{x^n}{e^x}<\dfrac{(n+1)^{n+1}}{x}$$

であり、

$$\lim_{x \to \infty} \dfrac{(n+1)^{n+1}}{x}=0$$

なので、はさみうちの原理から目的の極限が得られます。