回答と解説をして欲しいです。

(1)

斜面上向きを正として、斜面と平行な方向の運動方程式は、

$ma=-mg\sin\theta \iff a=-g\sin\theta$

よって、$0=v_0-(g\sin\theta)t_0 \iff t_0=\dfrac{v_0}{g\sin\theta}$

(2)

力学的エネルギー保存則より $\dfrac{1}{2}mv_0^2=mgh_0 \iff h_0=\dfrac{v_0^2}{2g}$

(1)

台の上から見たとき、小物体には水平左向きの慣性力 $m\beta$ がはたらいているとして、その斜面方向の運動方程式は、$m\alpha=-m(g\sin\theta+\beta\sin\theta)$

また、台には小物体への垂直抗力の反作用がはたらくから、その運動方程式は、

$M\beta=N\sin\theta$

(2)

$N+m\beta\sin\theta=mg\cos\theta$

(3)

これらを解いて、

$$\begin{aligned}\alpha &= -\dfrac{(M+m)\sin\theta}{M+m\sin^2\theta}g \\ \\\beta &= \dfrac{m\sin2\theta}{2(M+m\sin^2\theta)}g\end{aligned}$$

(4)

$0=v_0+\alpha t_1 \iff t_1=-\dfrac{v_0}{\alpha}=\dfrac{(M+m\sin^2\theta)v_0}{(M+m)g\sin\theta}$

(5)

時刻 $t_1$ において台の速度 $V_1$ は $V_1=\beta t_1=\dfrac{m\cos\theta}{M+m}v_0$ となるから($V_1$ は運動量保存則から求めてもよい)、力学的エネルギー保存則より、

$$\begin{aligned}\dfrac{1}{2}mv_0^2 &= U+\dfrac{1}{2}(M+m)V_1^2 \\\iff U &= \dfrac{m(M+m\sin^2\theta)v_0^2}{2(M+m)} \\U=mgh_1 \iff h_1&=\dfrac{(M+m\sin^2\theta)v_0^2}{2(M+m)g}\end{aligned}$$

(別解)

小物体が斜面上をすべった距離は $\dfrac{h_1}{\sin\theta}$ であるから、

$$-v_0^2=2\alpha\times\dfrac{h_1}{\sin\theta} \iff h_1=\dfrac{(M+m\sin^2\theta)v_0^2}{2(M+m)g}$$

(6)

台から見た小物体の加速度の大きさは、慣性力がある方が大きいため、$t_0>t_1$

台も運動する場合は、初期の運動エネルギーが小物体の位置エネルギーだけでなく、台と小物体の運動エネルギーにもなるため、$h_0>h_1$

これは(5)までに計算した値を見比べても一目瞭然である。

(7)

台から見た小物体は等加速度 $\alpha$ で斜面を上がって降りるから、$\mathrm{C}$ 点での速さは $v_0$

(8)

小物体が $\mathrm{C}$ 点に戻るまでにかかる時間は $2t_1$ であるから、

台の床に対する速さ $V_2$ は、

$$V_2=2\beta t_1=2V_1=\dfrac{m\sin2\theta}{M+m}v_0$$

(別解)

水平方向の運動量保存則より、

$$mv_0\cos\theta=MV_2+m(V_2-v_0\cos\theta) \iff V_2=\dfrac{2m\cos\theta}{M+m}v_0$$

(9)

台と小物体からなる系において、水平方向には内力しかはたらかず運動量保存則が成り立つ。つまり、小物体が台に対して静止した時の台と小物体の速度は常に等しくなる。最高点で静止した瞬間および摩擦力が仕事をし終えたあとの速度は水平方向であるから、台と小物体がもつ運動エネルギーは等しい。

よって、摩擦力がした仕事 $W$は、最高点における小物体がもつ位置エネルギー $U$ と等しい。