この積分の解法を教えてください

　一般に有理式の積分で、分子の次数が分母の次数と等しいかそれより大きい場合は、分子を分母で割り算します。たとえば

$$\int \frac{x^3 + x^2 + 1}{x + 5} dx$$

という積分では、分子を分母で割ると

$$x^3 + x^2 + 1 = (x + 5)(x^2 - 4x + 20) - 99$$

となります。よって

$$\begin{aligned}\int \frac{x^3 + x^2 + 1}{x + 5} dx &= \int \frac{1}{x + 5} \left\{ (x + 5)(x^2 - 4x + 20) - 99 \right\} dx \\ &= \int \left\{ x^2 - 4x + 20 - \frac{99}{x + 5} \right\} dx\end{aligned}$$

と変形でき、多項式の積分と、分子が分母より次数の小さな有理式の積分とに帰着します。

　これを今の問題に適用してみると

$$\begin{aligned}\int \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1}dx &= \int \frac{1}{x^2 + 1} \left\{ (x^2 + 1) \times 1 + x \right\} dx\\ &= \int \left\{ 1 + \frac{x}{x^2 + 1} \right\}dx\end{aligned}$$

と変形でき、多項式の積分 $\displaystyle{\int dx}$ と、有理式の積分

$$\int \frac{x}{x^2 + 1} dx \tag{1}$$

とに帰着します。ここで

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log |f(x)|$$

という公式で $(1)$ の積分を計算します。$(1)$ の分母の微分は $(x^2 + 1)' = 2x$、分子は $x$ で、これらは単に定数倍の違いしかないので、適当な定数をかけて補正すれば

$$\int \frac{x}{x^2 + 1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 1} dx = \frac{1}{2} \log |x^2 + 1|$$

と計算できます。

　以上のことを整理して

$$\int \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1}dx = x + \frac{1}{2} \log (x^2 + 1) + C$$

を得ます。