名古屋大　理系数学2014　大問４(1)(2)

(1)は完璧です。

(2)も答えはおそらく合っていますし、解答の方針としても悪くないと思いますが、少し論理の飛躍があるように感じます。

気になった点は $2$ 点あります。

まず、解答のはじめに $k=1,2, \cdots$ としていますが、$k=1$ の場合は $a_{k-1}$ が定義できないので $k=2,3,\cdots$ としたうえで、$k=1$ は個別に考えるべきです。

また、$2 \leqq \dfrac{1}{2}a_{n-1} < 3$ が成り立つときに、

「すなわち $2 \leqq \Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)^{k-1}a_{1} < 3$ 」とする不等式の評価について、もう少し説明がほしいと思ってしまいます。

その答案だと、$\dfrac{1}{2}a_{n-1}=\Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)^{k-1}a_1$ が成り立つように感じられるからです。この等式は成り立っていません。

その後の解答は、写真が不明瞭な部分もあって読みにくかったので、あまり意図が伝わってきませんでした。申し訳ありません。

私なら、次のように記述します。

まず、$\dfrac{a_n}{2}-1< a_{n+1} \leqq\dfrac{a_n}{2}$ であるから、整数 $l$ に対して $a_{n+1}=l$ となるような $a_n$ は、$a_n=2l$ または $a_n=2l+1$ の $2$ つが存在する。

また、自然数 $m$ に対して $2^{m+1} \leqq a_n < 2^{m+2}$ が成り立っているとき、$2^m \leqq a_{n+1} < 2^{m+1}$ が成り立つ。

ここで、$2^k \leqq N < 2^{k+1} \quad (k=1,2,\cdots,9)$ の中で、$a_n=2$ となる項が存在しないものの個数を考える。

$k=1$ のとき $2 \leqq N <4$ である。

$N=3$ で $a_2=1$であり、$N=4$ で $a_2=2$ だから、$a_n=2$ となる項が含まれないのは $N=3$ のみである。

したがって、$a_n=2$ となる項が存在しないための必要十分条件は、$2 \leqq a_n <4$ の範囲の $a_n$ について $a_n=3$ が成り立っていることである。

$k=2$ のときは、$4 \leqq N <8$ であり、$a_n=3$ となる項が含まれるときは $N=6,7$ である。

同様に考えていくことで、$2^k \leqq N < 2^{k+1}$ を満たす $N$ に対して、$a_n=3$ となる項が存在するものの個数は $2^{k-1}$ 個である。

したがって、$2 \leqq N < 2^{10}$ の $N$ で $a_n=2$ となる項を含まないものの個数は

$$\sum_{k=1}^{9} 2^{k-1} = \dfrac{2^9-1}{2-1} =511$$

である。これに $N=1$ を加えた $512$ 個が題意を満たさないものの個数なので、求める $N$ の個数は

$$1023-512=511 \text{ 個である。}$$