• 解決済み

    @ujinao

    2023/2/11 20:04

    1 回答

    名大理系数学2017大問４(3)について質問です

    これはｚ∈M⇒ｚ^2∈M...①

    ｚ^2∈M⇔±1±i∈M

    最後に➀の逆も成り立つことを確認

    という必要条件で絞って十分条件の確認という形式の解答ですか?

    1. 高校生
    2. 数学
    3. 数学Ⅲ

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    @sHlcNRe46

    2023/2/12 0:13

    ①の逆というわけではありませんし、①の逆は成り立っていません。

    反例は z=12+12iz=\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i です。


    必要条件で絞っていった答えが M={±1,±i}M=\{ \pm1,\pm i \} であり、答えの候補がこれしかないということが分かります。

    そしてこの集合 MM が条件を満たすことの確認によって、このような集合 MM が一通りに定まることが示されます。


    返信(2件)

    @ujinao

    2023/2/13 15:16

    すみません!頓珍漢な解釈してました!

    (2)より

    n=4⇔n=4⇔

    M∋1,−1,z,−z⇒M∋1,-1,z,-z⇒

    z2=−1(∵(Ⅲ)、z≠1,−1,0)⇔z^2=-1(∵(Ⅲ)、z≠1,-1,0)⇔

    z=i,−iz=i,-i

    逆に

    z=i,−i⇒z=i,-i⇒

    n=4n=4

    よってｎ=4のときMは一通りに決まり、その要素は1,-1,i,-i

    ということで合ってますか?

    また、上のような解答でいいですか?






    @sHlcNRe46

    2023/2/15 2:39

    z=±i⟹n=4z= \pm i \quad \Longrightarrow \quad n=4

    が少し意味の分からない表現になっていて、そもそも今回の zz は n=4n=4 のときに、条件Ⅲを満たす必要があることから M={±1,±z}M=\{ \pm1 , \pm z\} とおけるということから始まっています。

    条件Ⅲのみで絞っていった結果、M={±1,±i}M=\{ \pm1, \pm i\} が得られ、これが条件ⅠⅡを満たすことから、唯一の解であることが言えます。

    この条件ⅠⅡを満たすことの確認が、十分条件の確認です。


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