※今年の共通テストのネタバレを含みますのでご注意ください。

場合の数や確率の分野では、過不足なく数え上げることが求められますが、自分でルールを決めることが重要です。

特に極端な場合をイメージすると、ルールが作りやすいかと思います。

今回の問題では、$1$ 色だけで塗ることはできないかと考えます。これが極端な場合です。もちろん無理ですね。

では $2$ 色だけではどうでしょう。これも $3$ 球同じ色で塗らないといけないので無理です。

このように、使う色をできるだけ少なくするような塗り方から順番に考えていくと、色の使い方は次の $3$ パターンであることが分かります。

(1) $3$ 色使って $2$ 球、$2$ 球、$1$ 球を塗る

(2) $4$ 色使って $2$ 球、$1$ 球、$1$ 球、$1$ 球を塗る

(3) $5$ 色使ってすべて違う色

これらをすべて求めていきましょう。ここでも考える順番のルールを決めた方がよいと思います。どの色を使うか→どの球を塗るかとして考えます。

(1)

色の選び方は、$2$ 球を塗る色が $_5\mathrm{C}_2$ 通り、残りの $1$ 球が $3$ 通りです。

塗り方については、$1$ 球を塗る色の場所を決めれば、残りの $4$ 球の中の同じ色となる $2$ 球 $\times 2$ の組合せがただ $1$ 通り(つまり色の交換で $2$ 通り)になることに気づけば、$5 \times 2 =10$ 通りです。

したがって、$_5\mathrm{C}_2 \times 3 \times 10=300$ 通りです。

(2)

色の選び方は、$2$ 球を塗る色が $5$ 通り、残りの $3$ 球が $4$ 通りです。

塗り方については、$2$ 球を塗る方法は、その $2$ 球の間に入る $1$ 球の選び方と同じと考えて $5$ 通りであり、残りの $3$ 球は $3!=6$ 通りです。

したがって、$5 \times 4 \times 5 \times 6 =600$ 通りです。

(3)

すべての色を使うので、どの球を塗るかで $5!=120$ 通りです。

よって、$300+600+120=1020$ 通りとなります。