解決済み

@HSKJ

2 回答

なんで積分で求める面積はx軸との間の面積なのですか？

y軸でも、x=2との間でもいいのに。

またx軸より上とより下は無視していいのですか？

ベストアンサー

@DoubleExpYui

2023/1/7 15:34

積分とはなにか、というところが理解できていないようです。

区間 $a\leq x\leq b$ を $n$ 分割し、その点を小さい順に $a=x_0,x_1,\cdots,x_n=b$ とする。

このとき関数 $y=f(x)$ に対して、 $(x_{i-1},0),(x_i,0),(x_i,f(x_i)),(x_{i-1},f(x_i))$ の4点からなる長方形の和を考える(※)と、分割を細かくしていけば $x$ 軸と関数 $f(x)$ で囲まれた部分の面積と一致する。つまり、

$\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n (x_i-x_{i-1})f(x_i)$

これが積分のそもそもの考え方です。長方形の和を考えるので、 $x$ で積分するなら $x$ 軸と囲まれた部分になります。もちろん、 $y$ で積分するなら $y$ 軸との間になります。

「またx軸より上とより下は無視していいのですか？」

これも積分の考え方とそもそも違います。

(※)

長方形の $f(x)$ の取り方はいろいろあります。

$[x_{i-1},x_i]$ で一番大きいところ、一番小さいところ、中点など。

返信(4件)

@HSKJ

2023/1/8 14:37

回答ありがとうございます。

なんかすごい分かりそうでわからないです。

長方形を作るときの頂点の2個がなんで(x、0)みたいにx軸上なんですか？

そもそも、なんで積分すると面積が求まるのかが納得いかなくて。

そこまでいくとむずくなるからそういうものだと思った方がいいのでしょうか？

@DoubleExpYui

2023/1/8 15:50

物理はとっていますか？

あれの速さのあたりが一番楽なんですけど。

例えば、加速度 $a\mathrm{m/s^2}$ の車が地点 $x=0$ を出発して $x=t$ 秒時の速さ $f(x)$ は $f(x)=ax$ で表せて、同時に進んだ距離 $F(x)$ は $F(x)=\dfrac{1}{2}ax^2$ で表すことが出来ます。

このとき、 $f(x)\to F(x)$ は積分、 $F(x)\to f(x)$ は微分の関係にあります。

つまり、

$\begin{align*}F(x)&=\int_0^xf(t)dt\\f(x)&=\dfrac{d}{dx}F(x)\end{align*}$

と書けます。

(続きます)

@DoubleExpYui

2023/1/8 15:58

さて、なぜ $x$ 軸上にあるかと言えば、例えば「速さ $10\mathrm{km/h}$ で5時間歩いたとき、進んだ距離は何 $\mathrm{km}$ ですか」という問題があったとき、どう答えますか？

$10\mathrm{km/h}\times5\mathrm{h}=50\mathrm{km}$

とするかと思います。

これは、時間 $x$ における速さの関数 $f(x)=10$ (定数関数)において、 $0\leq x\leq 5$ での面積(積分)に対応しています。

ここで、もし関数 $f(x)$ と $x$ 軸ではなく、例えば $y=2$ の線と囲まれた面積だった場合、どうなるでしょうか。定数関数なので面積は長方形ですから、

$\text{縦}\times\text{横}=(10-2)\times5=40\mathrm{km}$

ということになります。

(続きます)

@DoubleExpYui

2023/1/8 16:11

結局のところ、積分とは関数 $f(x)$ について積分区間 $[a,b]$ 上のすべての点 $x_i$ における $f(x_i)$ の積み重ね、と言えるわけです。

そして $f(x_i)$ とは $y=0$ から $y=f(x_i)$ の距離のことですから、これは $x$ 軸と $f(x)$ で囲まれた面積、ということになります。

これでもやっぱり難しいですか？

習いたてだといまいちピンと来ないかもしれないので、初めはそういうものだと思ってもらってもいいかもしれません。

ただ、上記の話を理解できれば、いずれ出てくる「2つの関数で囲まれた面積」なども理解しやすくなると思いますので、頭の片隅にでも置いて頂ければ、と思います。

そのほかの回答（1件）

@amalyze

2023/1/13 4:43

参照までに。

関連する質問

Aを関数、Bを方程式とすると$$ A \subset B $$ また、整式$F(x,y)$について$$F=0とできるもの

数学Ⅰ・A

数学Ⅱ・B

なんで積分で求める面積はx軸との間の面積なのですか？

ベストアンサー

積分とはなにか、というところが理解できていないようです。

回答ありがとうございます。

物理はとっていますか？

さて、なぜxxx軸上にあるかと言えば、例えば「速さ10km/h10\mathrm{km/h}10km/hで5時間歩いたとき、進んだ距離は何km\mathrm{km}kmですか」という問題があったとき、どう答えますか？

結局のところ、積分とは関数f(x)f(x)f(x)について積分区間[a,b][a,b][a,b]上のすべての点xix_ixi​におけるf(xi)f(x_i)f(xi​)の積み重ね、と言えるわけです。

シェアしよう！

そのほかの回答（1件）

参照までに。

関連する質問

この質問に関連する記事

さて、なぜ $x$ 軸上にあるかと言えば、例えば「速さ $10\mathrm{km/h}$ で5時間歩いたとき、進んだ距離は何 $\mathrm{km}$ ですか」という問題があったとき、どう答えますか？

結局のところ、積分とは関数 $f(x)$ について積分区間 $[a,b]$ 上のすべての点 $x_i$ における $f(x_i)$ の積み重ね、と言えるわけです。