なんで積分で求める面積はx軸との間の面積なのですか？

回答ありがとうございます。

なんかすごい分かりそうでわからないです。

長方形を作るときの頂点の2個がなんで(x、0)みたいにx軸上なんですか？

そもそも、なんで積分すると面積が求まるのかが納得いかなくて。

そこまでいくとむずくなるからそういうものだと思った方がいいのでしょうか？

物理はとっていますか？

あれの速さのあたりが一番楽なんですけど。

例えば、加速度$a\mathrm{m/s^2}$の車が地点$x=0$を出発して$x=t$秒時の速さ$f(x)$は$f(x)=ax$で表せて、同時に進んだ距離$F(x)$は$F(x)=\dfrac{1}{2}ax^2$で表すことが出来ます。

このとき、$f(x)\to F(x)$は積分、$F(x)\to f(x)$は微分の関係にあります。

つまり、

$$\begin{align*}F(x)&=\int_0^xf(t)dt\\f(x)&=\dfrac{d}{dx}F(x)\end{align*}$$

と書けます。

(続きます)

さて、なぜ$x$軸上にあるかと言えば、例えば「速さ$10\mathrm{km/h}$で5時間歩いたとき、進んだ距離は何$\mathrm{km}$ですか」という問題があったとき、どう答えますか？

$$10\mathrm{km/h}\times5\mathrm{h}=50\mathrm{km}$$

とするかと思います。

これは、時間$x$における速さの関数$f(x)=10$(定数関数)において、$0\leq x\leq 5$での面積(積分)に対応しています。

ここで、もし関数$f(x)$と$x$軸ではなく、例えば$y=2$の線と囲まれた面積だった場合、どうなるでしょうか。定数関数なので面積は長方形ですから、

$$\text{縦}\times\text{横}=(10-2)\times5=40\mathrm{km}$$

ということになります。

(続きます)

結局のところ、積分とは関数$f(x)$について積分区間$[a,b]$上のすべての点$x_i$における$f(x_i)$の積み重ね、と言えるわけです。

そして$f(x_i)$とは$y=0$から$y=f(x_i)$の距離のことですから、これは$x$軸と$f(x)$で囲まれた面積、ということになります。

これでもやっぱり難しいですか？

習いたてだといまいちピンと来ないかもしれないので、初めはそういうものだと思ってもらってもいいかもしれません。

ただ、上記の話を理解できれば、いずれ出てくる「2つの関数で囲まれた面積」なども理解しやすくなると思いますので、頭の片隅にでも置いて頂ければ、と思います。