どうしてこのようなことが言えるのでしょうか？

数列$a_n$が$a$に収束するとは、

「任意の$\epsilon\gt0$に対して十分大きな$N$が存在し、$n\geq N$において

$$|a_n-a|\lt\epsilon$$

が成り立つ」ことをいう。

いま、

$$\lim_{n\to\infty}|(-1)^nnx^n|=0$$より、

任意の$\epsilon\gt0$に対して十分大きな$N$が存在し、$n\geq N$で

$$||(-1)^nnx^n|-0|\lt\epsilon$$

である。このとき

$$\begin{align*}||(-1)^nnx^n|-0|&=||(-1)^nnx^n||\\&=|(-1)^nnx^n|\\&=|(-1)^nnx^n-0|\\&\lt\epsilon\end{align*}$$

なので

$$\lim_{n\to\infty}(-1)^nnx^n=0\square$$