• 解決済み

    @sugaku_tarou_AI

    2022/12/25 21:35

    1 回答

    中1です。三角形の外接円を描くとき、ある辺を2つ採って垂直二等分線を引きその交点が外接円の中心Oになることは学びました。その授業中、ふと思ったのですが、正多角形の外接円の中心Oを求める場合は正多角形の角を使って角の二等分線を2本引きその交点が外接円の中心Oになることに気づきました。そのことを証明する文が欲しいです。お願いします。

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    ベストアンサー

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    @DoubleExpYui

    2022/12/25 22:05

    証明するほどでもないと思いますが。

    円に内接する正nn角形を考えると、円の中心から各頂点に補助線を引けば、合同な二等辺三角形に分割できるので、この補助線は各頂点の角を2等分する。

    返信(4件)

    @sugaku_tarou_AI

    2022/12/26 12:44

    合同な二等辺三角形になる理由は内角の角度の計算をしなければならない。他にももっと吟味できるところはたくさんあるはずではないだろうか。あなた証明は自分の求めているものと比べると遥かに程遠い。もっと細かな部分まで吟味してほしい。

    @DoubleExpYui

    2022/12/26 14:21

    ちゃんと考えました？

    「合同な二等辺三角形になる理由は内角の角度の計算をしなければならない。」

    →いいえ。辺の長さだけで十分です。


    一応証明してあげます。最初の回答とまったく同じ内容ですが。


    @DoubleExpYui

    2022/12/26 14:43

    正nn角形の頂点を、外接する円の中心をOOとする。

    点OOから点A1,⋯ ,AnA_1,\cdots,A_nに補助線を引くと、任意のi(1≤n≤n)i(1\leq n\leq n)に対して

    OAi=r(r:半径)(1)\tag{1}OA_i=r(r:\text{半径})

    であり、正多角形の各辺の長さは等しいので

    A1A2=A2A3=⋯=An−1An=AnA1(2)\tag{2}A_1A_2=A_2A_3=\cdots=A_{n-1}A_n=A_nA_1

    (1)(2)より3辺の長さがそれぞれ等しいので、この補助線は合同な二等辺三角形に分割する。



    補足

    1行目

    正nn角形の頂点をA1,⋯ ,AnA_1,\cdots,A_n、外接する…

    @DoubleExpYui

    2022/12/26 14:21

    いま隣り合う2つの三角形、△OAt−1At,△OAtAt+1(1≤t≤n,A0=An,An+1=A1)\triangle OA_{t-1}A_{t},\triangle OA_{t}A_{t+1}(1\leq t\leq n,A_0=A_n,A_{n+1}=A_1)を考えれば辺OAtOA_{t}は∠At−1AtAt+1\angle A_{t-1}A_{t}A_{t+1}を分割する線分であり、

    ∠OAtAt−1=∠OAtAt+1\angle OA_tA_{t-1}=\angle OA_tA_{t+1}

    であるから、辺OAtOA_tは∠At−1AtAt+1\angle A_{t-1}A_{t}A_{t+1}の二等分線である。□\square

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