中1です。三角形の外接円を描くとき、ある辺を2つ採って垂直二等分線を引きその交点が外接円の中心Oになることは学びました。その授業中、ふと思ったのですが、正多角形の外接円の中心Oを求める場合は正多角形の角を使って角の二等分線を2本引きその交点が外接円の中心Oになることに気づきました。そのことを証明する文が欲しいです。お願いします。

合同な二等辺三角形になる理由は内角の角度の計算をしなければならない。他にももっと吟味できるところはたくさんあるはずではないだろうか。あなた証明は自分の求めているものと比べると遥かに程遠い。もっと細かな部分まで吟味してほしい。

ちゃんと考えました？

「合同な二等辺三角形になる理由は内角の角度の計算をしなければならない。」

→いいえ。辺の長さだけで十分です。

一応証明してあげます。最初の回答とまったく同じ内容ですが。

正$n$角形の頂点を、外接する円の中心を$O$とする。

点$O$から点$A_1,\cdots,A_n$に補助線を引くと、任意の$i(1\leq n\leq n)$に対して

$$\tag{1}OA_i=r(r:\text{半径})$$

であり、正多角形の各辺の長さは等しいので

$$\tag{2}A_1A_2=A_2A_3=\cdots=A_{n-1}A_n=A_nA_1$$

(1)(2)より3辺の長さがそれぞれ等しいので、この補助線は合同な二等辺三角形に分割する。

いま隣り合う2つの三角形、$\triangle OA_{t-1}A_{t},\triangle OA_{t}A_{t+1}(1\leq t\leq n,A_0=A_n,A_{n+1}=A_1)$を考えれば辺$OA_{t}$は$\angle A_{t-1}A_{t}A_{t+1}$を分割する線分であり、

$$\angle OA_tA_{t-1}=\angle OA_tA_{t+1}$$

であるから、辺$OA_t$は$\angle A_{t-1}A_{t}A_{t+1}$の二等分線である。$\square$