$0<s<2, 0<t<2$ の下での $y=(t+s)x−t^2+s$ の通過領域を求める方法と、その結果を知りたいです。まず$s$と$x$を固定して、$t$のみを動かすのがよいかと思いましたが、うまくいきませんでした。よろしくお願いします。

$s,x$固定で$t$動かしたら割といけそうだと思いました。

途中までしか計算してないので、あとはご自分でやってみてください。

まず$t$の2次方程式だとみて

$$\tag{1}t^2-xt+(y-sx-s)=0$$

判別式$D$を求めて$D\geq0$より

$$\tag{2}y\leq\frac{1}{4}x^2+sx+s$$

あとは条件の$0\lt t\lt2$から場合分けして、さらに$0\lt s\lt2$で$s$動かす感じですかね。

$\text{(1)式左辺}=f(t)$と置いてやれば、

$$f(t)=\left(t-\dfrac{1}{2}x\right)^2-\dfrac{1}{4}x^2-sx+y-s$$

$t$の解の取り方で次に場合分け出来る。

1.$0\lt t\lt2$の範囲で解1つ、$t\geq2$の範囲で解1つ

$\to f(0)\gt0,f(2)\leq0$

2.$0\lt t\lt2$の範囲で解1つ、$t\leq0$の範囲で解1つ

$\to f(0)\leq0,f(2)\gt0$

3.$0\lt t\lt2$の範囲で解2つ(重解を含む)

$\to f(0)\gt0,f(2)\gt0,f(\frac{1}{2}x)\leq0$

また、$\text{(2)式右辺}=g(x)$と置いてやれば、

4.判別式から得られる範囲

$$g(x)=\frac{1}{4}(x+2s)^2-\left(s-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}$$

後はそれぞれの場合で計算していけばいいはずだと思うのですが…

こちらでは計算してないので、他の方法が提案されるのを待ってもいいかもしれませんね。