解決済み
軌跡 領域
どうして領域を求める問題では、軌跡と同じような逆の確認をしなくて良いのですか?
ベストアンサー
まず、軌跡の問題で逆の確認が必要である理由についてお話します。
与えられた条件 を満たす点 の軌跡が図形 であるとします。
これを証明するためには、
①与えられた条件 を満たす任意の点は、図形 上にある
②(逆に)図形 上にある任意の点は、条件 を満たす
の２つが同時に成り立つことを示す必要があり、そしてこれで十分です。
①の議論はいつも通り普通に行うものです。
逆の確認を行う理由は、②を確認するためです。
式がすべて同値変形であれば、求めた図形 から条件 に逆向きにたどることもできます。このときは逆の確認は必要ありません。
同値変形でない場合は、除外点が存在したり、図形 の一部分のみになったりすると思います。これが逆の確認です。
ここで、不等式が表す領域は、基本的にすべて同値変形です。
つまり、①が成り立てば明らかに②も成り立つので、逆が成り立つ確認をする必要がないということです。
集合と論理の分野は慣れるまで非常に時間がかかると思いますが、同値変形や必要条件、十分条件などを意識することで、できるようになってきます。頑張ってください。
質問者からのお礼コメント
ありがとうございました!