√xの定義式による微分の方法を教えて下さい。

関数$f(x)$の微分の定義は$f'(x)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$なので、今回の場合は

$\left(\sqrt{x}\right)'=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\left(\sqrt{x+h}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}{h\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}=\lim_{h \to 0}\frac{h}{h\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}=\lim_{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$となります。

分子の有理化によって分子に$h$が出てくるので、分母の$h$と約分して消すことがポイントです。