解決済み

√xの定義式による微分の方法を教えて下さい。

東大の過去問でありました。

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関数f(x)f(x)の微分の定義はf(x)=limh0f(x+h)f(x)hf'(x)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}なので、今回の場合は

(x)=limh0x+hxh=limh0(x+hx)(x+h+x)h(x+h+x)=limh0hh(x+h+x)=limh01x+h+x=12x\left(\sqrt{x}\right)'=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\left(\sqrt{x+h}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}{h\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}=\lim_{h \to 0}\frac{h}{h\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}=\lim_{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}となります。

分子の有理化によって分子にhhが出てくるので、分母のhhと約分して消すことがポイントです。

質問者からのお礼コメント

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ありがとうございます 悩みが解決しました!!

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