解決済み

ある関数は何でも 例えば y=x^2 yとxを入れ替えたものはy=xについて対称なのですか?

またその証明はありますか?

ベストアンサー

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関数はその関数を満たす点の集合なので、ある1点A(a,b)(a,b)について考えても一般性を失いません。これをxx座標とyy座標を入れ替えるということなのでA(a,b)(a, b)とB(b,a)(b, a)x=yx=yについて対称であることを示せば良いと言えます。

さて、ある2点がある直線(軸)について対称であるとは「軸が対応する点どうしを結んだ線分の垂直二等分線になる」ことを示せば良かったのですね。( https://manabitimes.jp/math/1551 )


ABの方程式はy=-x+(a+b)であるので、傾きの積が-1になることから、軸y=xy=xと垂直に交わっていることがわかります。

また、ABと軸との交点をCとおくと、C(a+b2,a+b2)(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2})ですから、ACとBCのx軸方向・y軸方向とを比較することでAC=BCがわかります。

よってy=xy=xはABの垂直二等分線であることが示されたので、A, Bはy=xy=xに対称であることがわかりました。

つまり、任意の点においてxとyを入れ替えるということはy=xy=xについて対称移動するということが言えたので、点の集合である関数もまた、xとyを入れ替えるということはy=xy=xについて対称移動するということになります。

質問者からのお礼コメント

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めちゃくちゃ分かりやすいです!ありがとうございます!

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