【この操作は必要十分を満たしながら式変形できていますか？】

結論から言うと、満たしていません。

$x$ についての３次方程式 $(x+1)(x-1)(x-2-i)=0$ がその反例です。

(ただし実数係数という条件があるはずなので、それを用いると $x=2-i$ も解となりますが、答案の書き方としては良くありません。)

以下、長くなります。

まず、答案の最初の部分で、$x$ の扱いに不自然なところがあります。

３次方程式における $x$ は変数ですが、$x=2+i$ と仮定した $x$ は定数です。しかし最後にまた $x$ についての方程式が出てきています。

そもそも「方程式」とは何でしょうか。

変数(ここでは $x$ としましょう)を含む等式があって、その変数 $x$ が特定の値をとった場合にのみ成り立つようなものが「方程式」です。

そして、その等式を成り立たせる特定の値を「方程式の解」と言い、解を求めることを「方程式を解く」と言いました。

今回の問題では、$x$ を含む等式があって、その $x$ に $2+i$ を代入したらその式が成り立ったというのが仮定です。

答案の書き方として、もとの方程式を一切考えず、定数 $x=2+i$ が満たす等式を考えて変形していっているのが誤りのその１です。

ではどこで同値が崩れたかというと、やはり $2$ 乗の部分です。

$x-2=i \Longrightarrow (x-2)^2=-1$ は成り立ちますが、

$x-2=i \Longleftarrow (x-2)^2=-1$ は成り立ちません。

複素数に正負の符号や大小関係という概念はありませんが、$2$ 乗するときは実数と同じように同値が崩れることを意識しましょう。

最後に、この問題をどう解くのがよいかですが、「実数係数の方程式が $1$ つの虚数解をもつとき、その共役な複素数も必ず解である」こと、そして「解と係数の関係」を使いましょう。

共役な複素数解をもつことの証明は以下のとおりです。

方程式は３次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0　(a \neq 0)$ とする。

この方程式が虚数解 $\alpha$ をもつとき、次の式が成り立つ。

$$a\alpha^3+b\alpha^2+c\alpha +d=0$$

両辺の共役複素数を考えると、

$$\begin{aligned}& a\alpha^3+b\alpha^2+c\alpha +d=0 \\\iff & \overline{a\alpha^3+b\alpha^2+c\alpha +d} =0 \\\iff & a(\overline{\alpha})^3+b(\overline{\alpha})^2+c(\overline{\alpha}) +d=0\end{aligned}$$

より、$x=\overline{\alpha}$ も方程式の解である。

一般の $n$ 次方程式についても同様に示すことができます。

この事実は証明なしに用いても良いですが、実数係数であることには必ず言及しましょう。