【解答・解説】東工大物理2025 第1問 -力学-

以下の問題文および図は，2025年度東京科学大学入試問題物理第1問から引用しています(一部見やすさ等のためライターが修正・変更した部分があります)。

円運動 (円運動とは｜円運動における加速度・向心力・遠心力) に関する問題です。[A]，[B] は通常の円運動に関する標準的な問題ですが，[C] は角振動数が等加速度で変化する場合の問題であり，あまり見慣れない問題かもしれません。

以下では，物体にはたらく力を図示した図が出てきますが，見やすさのため，力の作用点などはずらして書かれていることがあります。

A

(a)

物体にはたらく力を図示してみます。

上図のように $x, y$ 軸をとると，各方向に対して力のつりあいより

$$\begin{cases} x : mg \sin{\theta} - f = 0 \\ y : N - mg \cos{\theta} = 0 \end{cases}$$

これより

$$f = mg \sin{\theta}$$

と求められます。

また，垂直抗力に関しては $N = mg \cos{\theta}$ と求められます。

(b)

物体が運動しているときの運動方程式を考えます。$y$ 軸方向には物体は静止したままなので，物体にはたらく垂直抗力は前問で求めた $N$ となります。$x$ 軸方向の加速度を $a_x$ とすると

$$\begin{aligned} m a_x &= mg \sin{\theta} - \mu' N \\ &= mg \sin{\theta} - \mu' mg \cos{\theta} \\ &= mg (\sin{\theta} - \mu' \cos{\theta}) \end{aligned}$$

$$\therefore a_x = g (\sin{\theta} - \mu' \cos{\theta})$$

初速度 $0$，初期位置を原点とすると，時刻 $t$ での物体の速度 $v_x$ および位置 $x$ は，等加速度運動の公式 (等加速度運動・等加速度直線運動の公式) より

$$v_x = a_x t, \quad x = \dfrac{1}{2} a_x t^2$$

時刻 $t = t_p$ で物体が点 O に到達するとします。図1より $\text{OP} = \dfrac{r}{\cos{\theta}}$ なので

$$\dfrac{r}{\cos{\theta}} = \dfrac{1}{2} a_x t_p^2$$

$$\therefore t_p= \sqrt{\dfrac{2}{\cos{\theta}} \, \dfrac{r}{a_x}}$$

時刻 $t = t_p$ での物体の速さが求める速さ $v_0$ であり

$$\begin{aligned} v_0 &= a_x t_p \\ &= \sqrt{\dfrac{2}{\cos{\theta}} \, a_x r} \\ &= \sqrt{2 (\tan{\theta} - \mu') gr} \end{aligned}$$

となります。

(別解) 等加速度運動の公式

$$v(t) - v(0) = 2 a (x(t) - x(0))$$

を用います。 物体が点 P に到達したときの速さは $v_0$，位置は $\dfrac{r}{\cos{\theta}}$ なので，

$$v_0^2 - 0 = 2 a_x (x - 0)$$

$$\therefore v_0 = \sqrt{2 g (\sin{\theta} - \mu' \cos{\theta}) \dfrac{r}{\cos{\theta}}} = \sqrt{2 (\tan{\theta} - \mu') gr}$$

と求められます。

©

物体が点 P に到達するまでの間，摩擦力の大きさは $\mu' mg \cos{\theta}$ で一定です。摩擦力の運動に対する向きを考えて，求める仕事 $W$ は

$$\begin{aligned} W &= - \mu' mg \cos{\theta} \cdot \dfrac{r}{\cos{\theta}} \\ &= - \mu' mg r \end{aligned}$$

と求められます。

(別解) エネルギー保存則 (熱力学第一法則｜仕事と内部エネルギーの関係) より，物体の力学的エネルギーの変化が，摩擦力のした仕事 $W$ となります。したがって，点 P を位置エネルギーの基準として

$$\begin{aligned} W &= \dfrac{1}{2} m v_0^2 - m g r \tan{\theta} \\ &= (\tan{\theta} - \mu') mgr - m g r \tan{\theta} \\ &= - \mu' mg r \end{aligned}$$

と求められます。

B

(d)

角速度 $\omega (< \omega_0)$ のとき，台と同時に回転運動する系からみたときの，物体にはたらく力を図示します。遠心力がはたらくことに注意してください。

$y$ 軸方向での力のつりあいより

$$N = mg \cos{\theta} + m r \omega^2 \sin{\theta} = m (g \cos{\theta} + r \omega^2 \sin{\theta} )$$

と求められます。

(e)

摩擦力の向きについて考えます。角速度 $\omega$ を上げていくと，遠心力も大きくなっていき，ある角速度 $\omega = \omega_0$ で物体が滑り出すことから，摩擦力は $x$ 軸正の向きにはたらくことがわかります。

これより台上の観測者から見て物体が滑り出す向きとして適切な方向は ⑤ とわかります。

(f)

物体が台に対して静止しているときの静止摩擦力の大きさ $f$ を求めます。これは，力のつりあいより

$$mg \sin{\theta} + f = m r \omega^2 \cos{\theta}$$

$$\therefore f = m (r \omega^2 \cos{\theta} - g \sin{\theta})$$

$\omega = \omega_0$ のとき，$f = \mu N$ が成り立ちます (摩擦力の定義｜動摩擦力・静止摩擦力・摩擦係数の解説)。すなわち

$$m (r \omega_0^2 \cos{\theta} - g \sin{\theta}) = \mu m (g \cos{\theta} + r \omega_0^2 \sin{\theta} )$$

$$\therefore \omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{r} \dfrac{\sin{\theta} + \mu \cos{\theta}}{\cos{\theta} - \mu \sin{\theta}}}$$

のように求められます。

C

(g)

時刻 $t \to t + \Delta t$ で物体の速さが $v \to v + \Delta v$ に変化したとします。このとき，OP から $r$ だけ離れた点の速さは，円運動の速さの公式より

$$v + \Delta v = r \left( \omega + \dfrac{\Delta \omega}{\Delta t} \Delta t \right) = r (\omega + \Delta \omega)$$

$$\therefore \Delta v = r \Delta \omega$$

となります。

(h)

回転座標における一般の円運動では，遠心力のほかにコリオリ力とオイラーの力がはたらきます (コリオリの力の導出)。

回転させ始めた瞬間，台の角速度および物体の速度は $0$ なので，この3つの力のうち，遠心力とコリオリ力ははたらかず，オイラーの力のみがはたらきます。このオイラー力の向きは回転と逆向きにはたらきます。

したがって，台上の観測者から見たとき，物体にはたらく力は重力，垂直抗力，摩擦力，オイラーの力となります。

したがって，台上の観測者から見て物体が滑り出す向きは，重力の水平方向の成分 (と摩擦力) とオイラーの力の合力の向きとなるので，⑧ となります。

(i)

物体が静止しているときの静止摩擦力の大きさ $f$ が最大静止摩擦力 $\mu N$ より大きければ，台が回転し始めると同時に物体が台に対して滑り出します。

まず，$f$ について求めます。オイラーの力の大きさは $m r\dfrac{\Delta \omega}{\Delta t}$ として与えられるので，$f$ は

$$\begin{aligned} f &= \sqrt{(mg \sin{\theta})^2 + \left( m r\dfrac{\Delta \omega}{\Delta t} \right)^2} \\ &= m \sqrt{(g \sin{\theta})^2 + \left( r\dfrac{\Delta \omega}{\Delta t} \right)^2} \end{aligned}$$

と求められます。

次に，垂直抗力の大きさ $N$ は，これまで用いてきたように $N = mg \cos{\theta}$ となります。

$f > \mu N$ より

$$m \sqrt{(g \sin{\theta})^2 + \left( r \dfrac{\Delta \omega}{\Delta t} \right)^2} > mg \cos{\theta}$$

$0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ より両辺正としてよいから，結果として

$$\therefore \dfrac{\Delta \omega}{\Delta t} > \dfrac{g}{r} \sqrt{\mu^2 \cos^2{\theta} - \sin^2{\theta}}$$

を得ることができます。