【解答・解説】京大物理2024 第3問 -波動-

以下の問題文および図は，2024年度京都大学入試問題物理第3問から引用しています(一部見やすさ等のためライターが修正・変更した部分があります)。

光の全反射の性質を用いて物質の同定を行う実験について，考察する問題です。

(1)

入射角 $\phi_A$ と反射角 $\phi_A'$ との間には，反射の法則 (反射の法則・屈折の法則) より

$$\phi_A' = \phi_A$$

という関係が成り立ちます (あ：$\phi_A$)。

また，物質 A から物質 B に光が入射していくとき，入射角 $\phi_A$，屈折角 $\phi_B$ およびそれぞれの物質の屈折率 $n_A, n_B$との間には，屈折の法則より

$$n_A \sin{\phi_A} = n_B \sin{\phi_B}$$

$$\therefore \dfrac{n_A}{n_B} = \dfrac{\sin{\phi_B}}{\sin{\phi_A}}$$

が成り立ちます (い：$\dfrac{\sin{\phi_B}}{\sin{\phi_A}}$)。

$\phi_A = \phi_R$ となるとき，$\phi_B = \pi/2$ となり，光が境界面で全反射 (全反射の要点と, 臨界角の計算方法) されます。このような $\phi_R$ は，屈折の法則より

$$\dfrac{n_A}{n_B} = \dfrac{1}{\sin{\phi_R}}$$

$$\therefore \sin{\phi_R} = \dfrac{n_B}{n_A}$$

と表されます (う：$\dfrac{n_B}{n_A}$)。

(2)

$\theta$ の取り方に注意してください。

コアからクアッドに入射する光が全反射されるような入射角 $\dfrac{\pi}{2} - \theta_0$ は，(1)での議論より

$$\sin{\left( \dfrac{\pi}{2} - \theta_0 \right)} = \cos{\theta_0} = \dfrac{n_2}{n_1}$$

このような角度 $\theta_0$ が存在する条件は，

$$(0 < ) \dfrac{n_2}{n_1} < 1 \, \therefore n_1 > n_2$$

と求められます (え：①)。

$0 < \theta_0 < \dfrac{\pi}{2}$ と考えてよいので，上式より，$\sin{\theta_0}$ は

$$\sin{\theta_0} = \sqrt{1 - \cos^2{\theta_0}} = \sqrt{1 - \left( \dfrac{n_2}{n_1} \right)^2}$$

と表されます (お：$\sqrt{1 - \left( \dfrac{n_2}{n_1} \right)^2}$)。

空気中からコアに入射した光が，コアとクラッドの境界面で全反射されるための，空気中からコアに入射する光の入射角 $\theta_{in}$ の条件を求めます。屈折の法則より

$$\sin{\theta_{in}} = n_1 \sin{\theta}$$

コアとクラッドの境界面で全反射されるための条件は $\theta < \theta_0$ であったので，$0 < \theta, \theta_0 < \dfrac{\pi}{2}$ より

$$\sin{\theta_{in}} < n_1 \sin{\theta_0}$$

$$\therefore \sin{\theta_{in}} < \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$$

となります (か：$\sqrt{n_1^2 - n_2^2}$)。

(注)空気中からコアに入射した光が全反射しないことも，条件としては必要です。空気中からコアに入射した光が全反射するような入射角を $\Theta_R$ とすると，(1)での議論より

$$\sin{\Theta_R} = n_1$$

となります。一方，$\sqrt{n_1^2 - n_2^2} < n_1$ より，条件 $\sin{\theta_{in}} <$ $\fbox{か}$ を満たす角度 $\theta_{in}$ について

$$\sin{\theta_{in}} < \sin{\Theta_R}$$

が成り立っています。いま $0 < \theta_0, \Theta_R < \dfrac{\pi}{2}$ であるので，$\theta_{in} < \Theta_R$ が成り立ちます。したがって，条件 $\sin{\theta_{in}} <$ $\fbox{か}$ が成り立っていれば，全反射も起こりません。

(3)

上図のように，光の進行方向とコアの軸方向のなす角度が $\theta$ であるとき，コア中の光の波長 $\lambda_1$ と径方向の光の波面間の距離 $\lambda_R$ との間には

$$\lambda_R \sin{\theta} = \lambda_1$$

$$\therefore \lambda_R = \dfrac{1}{\sin{\theta}} \lambda_1$$

という関係が成り立っています (き：$\dfrac{1}{\sin{\theta}} \lambda_1$)。

径方向に定在波 (あるいは定常波 (定常波・合成波・重ね合わせの原理)) が存在していると考えます。問題文より光の強め合いの条件は

$$2 r_1 = \dfrac{N}{2} \lambda_R = \dfrac{N}{2} \dfrac{1}{\sin{\theta}} \lambda_1$$

$$\therefore \sin{\theta} = \dfrac{N}{4} \dfrac{\lambda_1}{r_1}$$

となります (く：$\dfrac{N}{4} \dfrac{\lambda_1}{r_1}$)。

空気中の光の波長 $\lambda_0$ とコア内の光の波長 $\lambda_1$ との間には，屈折の法則より

$$\lambda_0 = n_1 \lambda_1 \, \therefore \lambda_1 = \dfrac{1}{n_1} \lambda_0$$

という関係があることを用いると，この条件はさらに

$$\sin{\theta} = \dfrac{N}{4} \dfrac{1}{n_1} \dfrac{\lambda_0}{r_1}$$

と表されます。

このように，強め合う光について，$N$ で特徴づけられるモードについて考えます。

ある $N$ のモードについて，$\lambda_0 > C_N$ となると，この光はコアとクラッドの境界で全反射できなくなってしまいます。これは，$\lambda_0 = C_N$ のとき，$\theta = \theta_0$ となっていると考えられます。したがって

$$\sin{\theta_0} = \dfrac{N}{4} \dfrac{1}{n_1} \dfrac{C_N}{r_1}$$

$$\therefore C_N = 4 r_1 \dfrac{n_1 \sin{\theta_0}}{N}$$

と求められます (け：$4 r_1 \dfrac{n_1 \sin{\theta_0}}{N}$)。

さらに，$\sin{\theta_0}$ の具体的な値を代入すると

$$C_N = 4 r_1 \dfrac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{N}$$

と表すこともできます。

カットオフ波長 $C_2$ は，上式に $N = 2$ を代入して

$$C_2 = 2 r_1 \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$$

と表されます (こ：$2 r_1 \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$)。

(4)

FBG を間隔 $a$ の回折格子とみなし，この回折格子での光の散乱を考えます。たがいに $a$ だけ離れた位置からの散乱光が強め合う条件を考えます。

図5右図において，たがいに $a$ だけ離れた光の経路差は $2a$ であるとわかります。この距離がコア内の波長の整数倍のとき，これらの光は強め合います (波の干渉・回折)。

したがって，強め合いの条件は，整数 $m$ を用いて

$$2a = m \lambda_1 = m \dfrac{\lambda_0}{n_1}$$

検出できる光の最も長い (空気中の) 波長は $m = 1$ のときの波長で

$$\lambda_0 = 2 n_1 a$$

となります (さ：$2 n_1 a$)。

以下では問題文に倣って，この波長の光を反射光と呼びます。

(5)

FBG の長さと周期が変化しても，周期の繰り返しの回数は変化しません。したがって，$D, \Delta D, a, \Delta a$ の間には

$$\dfrac{D + \Delta D}{a + \Delta a} = \dfrac{D}{a}$$

$$\therefore a \Delta D = D \Delta a$$

$$\therefore \dfrac{\Delta D}{D} = \dfrac{\Delta a}{a}$$

という関係が成り立ちます (し：$\dfrac{\Delta D}{D} = \dfrac{\Delta a}{a}$)。

この周期の変化により反射光の波長も $\lambda_0$ から $\lambda_0 + \Delta \lambda_0$ に変化します。このとき波長の変化と周期の変化に

$$\dfrac{\Delta \lambda_0}{\lambda_0} = A \dfrac{\Delta a}{a}$$

という関係が成り立つとして，図6の実験データから係数 $A$ を決定します。しより

$$\dfrac{\Delta \lambda_0}{\lambda_0} = A \dfrac{\Delta a}{a} = A \dfrac{\Delta D}{D}$$

であることに注意します。

4つのプロットのうち最下段のものに着目します。このとき $\Delta D =$ 0.030 mm，またプロットより $\Delta \lambda_0 =$ 3.5 nm と読み取れるので，上式に代入して

$$\dfrac{3.5 \text{nm}}{1500 \text{nm}} = A \dfrac{0.030 \text{mm}}{10.00 \text{mm}}$$

$$\begin{aligned} \therefore A &= \dfrac{3.5 \times 10}{1500 \times 0.030} \\ &= \dfrac{7}{9} = 0.77 ... \end{aligned}$$

有効数字1桁では $A = 0.8$ と求められます (す：0.8)。

問1

熱膨張の公式より，温度による試料の長さの変化を $\Delta L_0$ とすると

$$L = L_0 + \Delta L_0 = L_0 \{1 + \alpha (T - T_0) \}$$

$$\therefore \dfrac{\Delta L_0}{L_0} = \alpha (T - T_0)$$

光ファイバーは試料 X の熱膨張に完全に追随して伸縮することより

$$\dfrac{\Delta L_0}{L_0} = \dfrac{\Delta D}{D}$$

と考えてよいので，FBG の反射光の波長変化の公式より，反射光の波長変化と試料の長さの変化との間には

$$\dfrac{\Delta \lambda_0}{\lambda_0} = A \dfrac{\Delta L_0}{L_0} = A \alpha (T - T_0)$$

$$\therefore \Delta \lambda_0 = \lambda_0 A \alpha (T - T_0)$$

という関係があることがわかります。

図7(b)のプロットはこれに従う直線となっていることが確かめられます。この直線の傾きを求めます。プロットの原点および $T - T_0 =$ 10[K] の点で $\Delta \lambda_0 =$ 0.35 nm であることより

$$\lambda_0 A \alpha = \dfrac{0.35 \text{nm}}{10 \text{K}}$$

$$\begin{aligned} \therefore \alpha &= \dfrac{1}{A} \dfrac{0.35 \text{nm}}{\lambda_0 \text{nm}} \dfrac{1}{10 \text{K}} \\ &= \dfrac{9}{7} \times \dfrac{0.35 \text{nm}}{1500 \text{nm}} \times \dfrac{1}{10 \text{K}} \\ &= 3.000 \times 10^{-5} = 30.00 \times 10^{-6} \end{aligned}$$

この結果より，試料 X は 亜鉛 であると推定されます。