【解答・解説】京大物理2024 第1問 -力学-

以下の問題は，2024年度京都大学入試問題物理第1問から引用しています(一部修正しています)。

なお，本記事中の図は全て，2024年度京都大学入試問題物理第1問を参考に，ライターが作成したものです(一部見やすさ等のためライターが変更した部分があります)。

単振動に関する問題です。(2)では2つの振り子が接続されている場合の単振動について考察します。

(1) ア〜オ

振り子の変位 $x$ と棒の回転角 $\theta$ との間には

$$x = L \theta$$

という関係があります。

振り子の円周方向の運動方程式を考えるために，振り子にはたらく力について考えます。

このように，振り子にはたらく力のうち，円周方向に寄与するのは，重力の円周方向の成分のみです。この成分は向きまで含めて $- mg \sin{\theta}$ と表されます。いま $|\theta|$ が十分小さいことから $\sin{\theta} \sim \theta$ と近似できるので，運動方程式は，おもりの円周方向の加速度を $a$ として

$$ma = - mg \theta = - \dfrac{mg}{L}x$$

となります (ア：$- \dfrac{mg}{L}$)。

これより振り子は単振動 (単振動のまとめ) し，その角振動数は イ：$\sqrt{\dfrac{g}{L}}$ と求められます。

振動中のある時刻でのおもりの円周方向の速度 $v = v_0$ と変位 $x = x_0$ を用いて，力学的エネルギー保存則 (運動量保存則とエネルギー保存則の導出) を考えます。このときの棒の回転角を $\theta_0$ とすると，$x_0 = L \theta_0$ に注意します。

運動エネルギー $K$ は

$$K = \dfrac{1}{2} m v_0^2$$

と求められます。

$x = 0$ でのおもりの高さを基準としたときの位置エネルギー $U$ を考えます。

上図より，回転角が $\theta_0$ のときの位置エネルギー $U$ は

$$\begin{aligned} U &= m g (L - L \cos{\theta_0}) \\ &= mgL (1 -\cos{\theta_0}) \\ &= \dfrac{1}{2} mg L \theta_0^2 = \dfrac{1}{2} \dfrac{mg}{L} x_0^2 \end{aligned}$$

したがって，$x = 0$ でのおもりの高さを基準としたときの力学的エネルギー $E$ は

$$\begin{aligned} E &= K + U \\ &= \dfrac{1}{2} m v_0^2 + \dfrac{1}{2} \dfrac{mg}{L} x_0^2 \tag{ウ} \end{aligned}$$

となります。

$x = 0$ となったときのおもりの円周方向の速さ $V$ は，エネルギー保存則より

$$\dfrac{1}{2} m V^2 = \dfrac{1}{2} m v_0^2 + \dfrac{1}{2} \dfrac{mg}{L} x_0^2$$

$$\therefore V = \sqrt{v_0^2 + \dfrac{x_0^2}{L}} \tag{エ}$$

とわかります。

また，この単振動における振幅 $l$ は，$v =0$ となったときのおもりの円周方向の(正の)変位に等しく，エネルギー保存則より

$$\dfrac{1}{2} \dfrac{mg}{L} l^2 = \dfrac{1}{2} m v_0^2 + \dfrac{1}{2} \dfrac{mg}{L} x_0^2$$

$$\therefore l = \sqrt{\dfrac{L}{g} v_0^2 + x_0^2} \tag{オ}$$

と求められます。

問1

$t > 0$ で 1，2，3 回目に衝突する時刻をそれぞれ $t_1, t_2, t_3$ とします。

2つのおもりは質量が等しく，反発係数が 1 であることより，これらのおもりが衝突すると，互いの速度を交換することがわかります (弾性衝突(完全弾性衝突)の定義と性質)。

したがって，$t = 0$ での衝突 (この衝突は0回目と数えることにします) 後， A，B の速度はそれぞれ $-v_1, 0$ であることがわかります。

$t > 0$ で1回目の衝突が起こるまでの運動を考えます。B はこのとき静止しているので，A の運動を考えればよいことがわかります。

A の単振動の振幅と周期を求めます。まず，角振動数を求めましょう。

上図のように，A が正の方向に運動しているとき，問題文よりばねは $x$ だけ伸びていることになります。円周方向の運動方程式より

$$ma = - \dfrac{mg}{L} x - kx = - \left( \dfrac{mg}{L} + k \right) x$$

したがって，この単振動の角振動数 $\omega_A$ は

$$\begin{aligned} \omega_A &= \sqrt{\dfrac{g}{L} + \dfrac{k}{m}} \\ &= \sqrt{\dfrac{g}{L} + \dfrac{3g}{L}} \\ &= 2 \sqrt{\dfrac{g}{L}} \end{aligned}$$

$t > 0$ で1回目の衝突が起こる時刻 $t_1$ は，A の単振動の周期の1/2に等しく

$$t_1 = \dfrac{\pi}{\omega_A} = \dfrac{\pi}{2} \sqrt{\dfrac{L}{g}}$$

となります。

A の単振動の振幅 $l_A$ を求めます。ばねが蓄えるエネルギーまで含めることで力学的エネルギー保存則が成立します。A が $x = - l_A$ に到達したとき，A の速度は 0，ばねの縮みは $l_A$ になっています。$x =0$ での力学的エネルギーと比較して

$$\dfrac{1}{2} \dfrac{mg}{L} l_A^2 + \dfrac{1}{2} k l_A^2 = 2 \dfrac{mg}{L} l_A^2 = \dfrac{1}{2} m v_1^2$$

$$\therefore l_A = \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{L}{g}} v_1$$

$t = t_1$ で A と B は1回目の衝突をします。衝突前の A の速度はエネルギー保存則より $v_1$ です。衝突後は速度交換により A，B の速度はそれぞれ $0, v_1$ となります。

$t_1 < t < t_2$ で B は角振動数 $\omega_B = \sqrt{\dfrac{g}{L}} \left( = \dfrac{1}{2} \omega_A \right)$ の単振動を行います。したがって，2回目に衝突するまでの時間は

$$\begin{aligned} t_2 - t_1 &= \dfrac{\pi}{\omega_B} \\ &= \pi \sqrt{\dfrac{L}{g}} = 2 t_1 \end{aligned}$$

となります。

また，この単振動の振幅 $l_B$ はウを用いたエネルギー保存則より

$$l_B = \sqrt{\dfrac{L}{g}} v_1 ( = 2 l_A)$$

と求められます。

$t = t_2$ で A と B は2回目の衝突をします。衝突前の A，B の速度は，それぞれ $0, -v_1$ です。これは $t = 0$ での衝突前と同じ状況です。

したがって，$t_2 < t < t_3$ での $x_A, x_B$ は $0 < t < t_1$ と同じものになります。

これより $x_A, x_B$ の $0 \leq t \leq t_3$ でのグラフは下図のようになります。

(1) カ〜ク

問題文より，ばねの伸び $s$ は，半径 $d$，中心角 $\theta$ の円弧に等しくなります。$x = L \theta$ にも注意して

$$\begin{aligned} s &= d \theta \\ &= \dfrac{d}{L} x \tag{カ} \end{aligned}$$

と表すことができます。

振り子の運動中におもりと棒の間にはたらく力について考えます。そのために，おもりから棒にはたらく力 (の円周方向成分) について考えてみます。棒の質量が無視できること，ばねが十分長いこと，棒にはたらく力の点 S まわりのモーメントのつりあい (力のモーメントと角運動量の関係) が成り立っていることより

$$ks \cdot d = F \cdot L$$

$$\begin{aligned} \therefore F &= ks \dfrac{d}{L} \\ &= \left( \dfrac{d}{L} \right)^2 kx \tag{キ} \end{aligned}$$

と求められます。

作用・反作用の法則 (作用反作用の法則〜ニュートンの第3法則〜) より，棒からおもりへは逆向きの力がはたらきます。したがって，おもりの円周方向の運動方程式は

$$ma = - \dfrac{mg}{L} x - F = - \left[ \dfrac{mg}{L} + \left( \dfrac{d}{L} \right)^2 k \right] x$$

この単振動の角振動数 $\omega_F$ は

$$\omega_F = \sqrt{\dfrac{g}{L} + \left( \dfrac{d}{L} \right)^2 \dfrac{k}{m}} \tag{ク}$$

のように求められます。

(2)

図7 の設定で考えます。

おもり C，D の変位がそれぞれ $x_C, x_D$ であるとき，ばねの伸び $s_2$ は，(1)カ と同様に考えて

$$s_2 = d \theta_D - d \theta_C = \dfrac{d}{L} (x_D - x_C) \tag{ケ}$$

と表されます。

簡単のため $s_2 > 0$ のときを考えます。このとき，ばねが棒 C，D におよぼす力の向きを考えると，棒 D がおもり D におよぼす力は図6と同じ向き，棒 C がおもり C におよぼす力は図6と逆向きであることがわかります。したがって，おもり C，D の円周方向の運動方程式は

$$\begin{equation} \left \{ \begin{aligned} & m a_C = - \dfrac{mg}{L} x_C + \left( \dfrac{d}{L} \right)^2 k (x_D - x_C) \\ & m a_D = - \dfrac{mg}{L} x_D - \left( \dfrac{d}{L} \right)^2 k (x_D - x_C) \end{aligned} \right. \end{equation}$$

と書くことができます

(コ：$- \dfrac{mg}{L} x_C + \left( \dfrac{d}{L} \right)^2 k (x_D - x_C)$, サ：$- \dfrac{mg}{L} x_D - \left( \dfrac{d}{L} \right)^2 k (x_D - x_C)$)。

ここで，2つの振り子が同じ振動数 $\omega$ で単振動するような特別な状態を考えましょう。このとき $a_C = - \omega^2 x_C, a_D = - \omega^2 x_D$ と表されます。これらを上の連立方程式に代入して整理すると

$$\begin{equation} \left \{ \begin{aligned} & ①：a_C = - \omega^2 x_C = - \dfrac{g}{L} x_C + \left( \dfrac{d}{L} \right)^2 \dfrac{k}{m} (x_D - x_C) \\ & ②：a_D = - \omega^2 x_D = - \dfrac{g}{L} x_D - \left( \dfrac{d}{L} \right)^2 \dfrac{k}{m} (x_D - x_C) \end{aligned} \right. \end{equation}$$

①+② より

$$-\omega^2 (x_C + x_D) = - \dfrac{g}{L} (x_C + x_D)$$

$X_1 = \dfrac{x_C + x_D}{2}$ を代入して変形すると

$$\left( \omega^2 - \dfrac{g}{L} \right) X_1 = 0$$

$$\therefore ③：\omega = \sqrt{\dfrac{g}{L}} \, \text{or} \, ④：X_1 = 0 \, (\forall t)$$

一方 ①-② より

$$\begin{aligned} -\omega^2 (x_C - x_D) &= - \dfrac{g}{L} (x_C - x_D) - 2 \left( \dfrac{d}{L} \right)^2 \dfrac{k}{m} (x_C - x_D) \\ &= - \left[ \dfrac{g}{L} + 2 \left( \dfrac{d}{L} \right)^2 \dfrac{k}{m} \right] (x_C - x_D) \end{aligned}$$

$X_2 = \dfrac{x_C - x_D}{2}$ を代入して変形すると

$$\left( \omega^2 - \left[ \dfrac{g}{L} + 2 \left( \dfrac{d}{L} \right)^2 \dfrac{k}{m} \right] \right) X_2 = 0$$

$$\therefore ⑤：\omega = \sqrt{\dfrac{g}{L} + 2 \left( \dfrac{d}{L} \right)^2 \dfrac{k}{m}} \, \text{or} \, ⑥：X_2 = 0 \, (\forall t)$$

したがって，$\omega$ の解として

$$\omega_1 = \sqrt{\dfrac{g}{L}}, \omega_2 = \sqrt{\dfrac{g}{L} + 2 \left( \dfrac{d}{L} \right)^2 \dfrac{k}{m}}$$

が得られます (シ：$\sqrt{\dfrac{g}{L} + 2 \left( \dfrac{d}{L} \right)^2 \dfrac{k}{m}}$)。

$\omega = \omega_1$ のとき，⑤ではなく⑥が成り立つべきことから $x_C = x_D$ が成り立ちます (ス：1)。

一方 $\omega = \omega_2$ のとき，③ではなく④が成り立つべきことから $x_C = - x_D$ が成り立ちます (セ：-1)。

問2

$\omega = \omega_1$ のときの変位は

$$x_C = x_D = a_1 \sin{(\omega_1 t + \phi_1)}$$

一方，$\omega = \omega_2$ のときは

$$x_C = - x_D = a_2 \sin{(\omega_2 t + \phi_2)}$$

と表すことができます。問題文より，一般には変位 $x_C, x_D$ はこれら2種類の単振動の重ね合わせで記述されるので

$$x_C = A_1 \sin{(\omega_1 t + \phi_1)} + A_2 \sin{(\omega_2 t + \phi_2)}$$

$$x_D = B_1 \sin{(\omega_1 t + \phi_1)} - B_2 \sin{(\omega_2 t + \phi_2)}$$

一方ばねの伸びは $x_D - x_C$ に比例しています。これが $2 \omega_1$ の角振動数で周期運動を行っていることより，

$$\omega_2 = 2 \omega_1$$

$$\omega_2^2 = 4 \omega_1^2$$

が成り立ちます。

上述した解を代入して

$$\dfrac{g}{L} + 2 \left( \dfrac{d}{L} \right)^2 \dfrac{k}{m} = 4 \dfrac{g}{L}$$

$k = \dfrac{6mg}{L}$ を代入して

$$\dfrac{g}{L} + 2 \left( \dfrac{d}{L} \right)^2 \dfrac{6g}{L} = 4 \dfrac{g}{L}$$

$$\therefore \dfrac{d}{L} = \dfrac{1}{2}$$

と求めることができます。