弾性衝突(完全弾性衝突)の定義と性質

更新日時 2021/11/26

この記事では,弾性衝突について解説します。まず,弾性衝突の定義をしっかりと押さえた後,例題を通して,弾性衝突の重要な性質を学びます。

目次
  • 弾性衝突(完全弾性衝突)の定義

  • 例題〜等質量物体の弾性衝突〜

  • 例題〜エネルギー保存〜

弾性衝突(完全弾性衝突)の定義

まず,弾性衝突を定義するために,反発係数の定義を以下で説明します。

反発係数の定義

衝突面に垂直な方向の相対速度の大きさが,反応前後で衝突により,ee 倍になっている時,この ee反発係数という。一般に反応前後で相対速度の向きは反転する。 衝突面

反発係数は,一般に 0e10\leq e\leq 1 です。( e>1e>1 となると,2つの物体の運動エネルギーの和が,急に衝突により増えることになり,力学的エネルギー保存に反します。)以上のことを踏まえて,以下で弾性衝突の定義を紹介します。

弾性衝突の定義

e=1e=1 を満たす衝突のことを,弾性衝突(完全弾性衝突)という。

ちなみに,e1e\neq 1 を満たす衝突のことを,非弾性衝突と言います。以下で例題を通して,弾性衝突の際に成り立つ重要な性質について見ていきましょう。

例題〜等質量物体の弾性衝突〜

例題

1次元を動く質点1が,速度 v0v_0 で,静止していた質点2に弾性衝突した。衝突後の質点1,2の速度,v1,v2v_1,v_2 をそれぞれ求めよ。ただし,質点1,2の質量は互いに等しいとする。 弾性衝突の例題 弾性衝突の例題2

解答

質点1,2の質量を mm とする。

この衝突は弾性衝突なので, (v00)=v1v2 -(v_0-0)=v_1-v_2 また,系全体の運動量は保存するので, mv0+m0=mv1+mv2 mv_0+m\cdot0=mv_1+mv_2 2式を解いて, v1=0,v2=v0 v_1=0,v_2=v_0 を得る。

衝突前の質点1,2の速度と,衝突後の速度を比較してみると,速度が「交換」していることがわかります。一般に次の公式が成り立ちます。

定理

等質量物体同士の弾性衝突では,速度が交換する。

運動量保存の法則と,反発係数の定義式の2式を連立させる,衝突前後の速度の求め方は,大学入試でも頻出なので,確実に押さえましょう。

例題〜エネルギー保存〜

例題

質点同士の弾性衝突において,衝突前後で運動エネルギーが保存することを示せ。

解答

質量がそれぞれ m1m_1m2m_2 の質点 1122 が弾性衝突するとする。衝突前の速度は質点1,2でそれぞれ,v1,v2v_1,v_2,衝突後の速度はそれぞれ,v1,v2v_1',v_2' であったとする。 運動量保存と弾性衝突の関係式より,以下が成り立つ。 m1v1+m2v2=m1v1+m2v2(v1v2)=v1v2 \begin{aligned} m_1v_1+m_2v_2&=m_1v_1'+m_2v_2'\\ -(v_1-v_2)&=v_1'-v_2' \end{aligned} これらを解いて, v1=m1m2m1+m2v1+2m2m1+m2v2v2=2m1m1+m2v1+m1m2m1+m2v1 \begin{aligned} v_1'&=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1+\dfrac{2m_2}{m_1+m_2}v_2\\ v_2'&=\dfrac{2m_1}{m_1+m_2}v_1+\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1 \end{aligned} を得る。この結果を用いると, 12m1v12+12m2v22=12m1(m1m2m1+m2v1+2m2m1+m2v2)2+12m2(2m1m1+m2v1+m1m2m1+m2v1)2={12m1(m1m2m1+m2)2+12m2(2m1m1+m2)2}v12+{12m2(m2m1m1+m2)2+12m1(2m2m1+m2)2}v22=12m1v12+12m2v22 \begin{aligned} \dfrac{1}{2}m_1v_1'^2+\dfrac{1}{2}m_2v_2'^2&=\dfrac{1}{2}m_1\left(\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1+\dfrac{2m_2}{m_1+m_2}v_2\right)^2+\dfrac{1}{2}m_2\left(\dfrac{2m_1}{m_1+m_2}v_1+\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1\right)^2\\ &=\left\lbrace\dfrac{1}{2}m_1\left(\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^2+\dfrac{1}{2}m_2\left(\dfrac{2m_1}{m_1+m_2}\right)^2\right\rbrace v_1^2+\left\lbrace\dfrac{1}{2}m_2\left(\dfrac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right)^2+\dfrac{1}{2}m_1\left(\dfrac{2m_2}{m_1+m_2}\right)^2\right\rbrace v_2^2\\ &=\dfrac{1}{2}m_1v_1^2+\dfrac{1}{2}m_2v_2^2 \end{aligned} となり,運動エネルギーは保存する。 弾性衝突とエネルギー保存

一般に衝突の前後では,運動エネルギーは保存しませんが,弾性衝突の時のみ,保存することがわかります。

ここで紹介した,弾性衝突の性質は非常に有名です。

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