弾性衝突(完全弾性衝突)の定義と性質

質点1，２の質量を $m$ とする。

この衝突は弾性衝突なので， $$-(v_0-0)=v_1-v_2$$ また，系全体の運動量は保存するので， $$mv_0+m\cdot0=mv_1+mv_2$$ ２式を解いて， $$v_1=0,v_2=v_0$$ を得る。

質量がそれぞれ $m_1$，$m_2$ の質点 $1$，$2$ が弾性衝突するとする。衝突前の速度は質点1，２でそれぞれ，$v_1,v_2$，衝突後の速度はそれぞれ，$v_1',v_2'$ であったとする。 運動量保存と弾性衝突の関係式より，以下が成り立つ。 $$\begin{aligned} m_1v_1+m_2v_2&=m_1v_1'+m_2v_2'\\ -(v_1-v_2)&=v_1'-v_2' \end{aligned}$$ これらを解いて， $$\begin{aligned} v_1'&=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1+\dfrac{2m_2}{m_1+m_2}v_2\\ v_2'&=\dfrac{2m_1}{m_1+m_2}v_1+\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1 \end{aligned}$$ を得る。この結果を用いると， $$\begin{aligned} \dfrac{1}{2}m_1v_1'^2+\dfrac{1}{2}m_2v_2'^2&=\dfrac{1}{2}m_1\left(\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1+\dfrac{2m_2}{m_1+m_2}v_2\right)^2+\dfrac{1}{2}m_2\left(\dfrac{2m_1}{m_1+m_2}v_1+\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1\right)^2\\ &=\left\lbrace\dfrac{1}{2}m_1\left(\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^2+\dfrac{1}{2}m_2\left(\dfrac{2m_1}{m_1+m_2}\right)^2\right\rbrace v_1^2+\left\lbrace\dfrac{1}{2}m_2\left(\dfrac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right)^2+\dfrac{1}{2}m_1\left(\dfrac{2m_2}{m_1+m_2}\right)^2\right\rbrace v_2^2\\ &=\dfrac{1}{2}m_1v_1^2+\dfrac{1}{2}m_2v_2^2 \end{aligned}$$ となり，運動エネルギーは保存する。