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反射の法則・屈折の法則

更新日時 2021/04/19

光の性質として日常生活でも馴染み深い「反射の法則」「屈折の法則」はなぜ成り立っているのでしょうか。

この記事では反射の法則・屈折の法則と, それぞれの証明方法を紹介します。

証明にはホイヘンスの原理を用います。ホイヘンスの原理については別の記事で詳しく説明しています。

「ホイヘンスの原理はまだちゃんと理解できていないけど、証明方法までしっかり読み切りたい!」という方は先にホイヘンスの原理の記事をご覧ください。→ホイヘンスの原理

目次
  • 反射の法則・屈折の法則

  • 反射の法則とホイヘンスの原理

  • 屈折の法則とホイヘンスの原理

反射の法則・屈折の法則

反射の法則と屈折の法則についてそれぞれ説明します。

反射の法則

反射の法則

反射において, 入射角と反射角は等しい。

すなわち

θ1=θ2 \theta_1 = \theta_2

が成り立つ。

屈折の法則

屈折の法則

領域1に対する領域2の屈折率として n12=n2n1n_{12} = \dfrac{n_2}{n_1} を定義する。

屈折において, 入射角 θ1\theta_1 と屈折角 θ2\theta_2 には以下の関係式が成り立つ。

sinθ1sinθ2=c1c2=λ1λ2=n2n1=n12 \dfrac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{\lambda_1}{\lambda_2} = \dfrac{n_2}{n_1} = n_{12}

ここで, c1,λ1,n1c_1, \lambda_1, n_1 はそれぞれ媒質1における波の速度, 波長, 屈折率である。c2,λ2,n2c_2, \lambda_2, n_2 についても同様である。

特に屈折率と入射角・屈折角の間には以下の関係式が成り立つ。

n1sinθ1=n2sinθ2n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2

反射の法則は非常に単純明快で理解しやすいでしょう。

屈折の法則は目新しい式が登場して少し戸惑うかもしれません。理解するべき点は以下にまとめられます。

  • 入射角と屈折角の sin\sin の比が, 両媒質での速度・波長の比と一致する
  • 屈折率の比は n1sinθ1=n2sinθ2n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2 が成り立つように定義されている。
  • 領域1に対する領域2の屈折率は n12=n2n1n_{12} = \dfrac{n_2}{n_1} と定義されていて, n12n_{12}11 の大小を比較すると入射角 θ1\theta_1 と屈折角 θ2\theta_2 の大小関係がわかる。

図をみながら式の意味を正しく理解しましょう。

ホイヘンスの原理に基づくと, 「反射の法則」「屈折の法則」が成り立つ原理が明らかとなります。以下ではそれぞれの法則をホイヘンスの原理から証明します。

反射の法則とホイヘンスの原理

ホイヘンスの原理から反射の法則を証明します。

以下の図のように, 面に入射角 θ1\theta_1 で入射する波を考えましょう。入射波1と入射波2は平行です。

二つの入射波

波の進行方向と波面についての再確認です。以下の図のように, 入射波1の進行方向に対してその波面は垂直になっています。

入射波の進行方向と波面

反射する点 A\mathrm{A} を通る入射波1の波面は次のようになります。

Aを通る入射波1の波面

Aを通る入射波1の波面と入射波2の交点を点 C\mathrm{C} としています。

それでは, 入射波1が面に到達した時刻を t=0t = 0 として t=0t = 0 の瞬間の波面を描いてみます。

t=0の波面

t=0t = 0 は入射波1が面に到達した時点なので, まだ入射波2は面に到達していません。

この後, 入射波1は反射し, 入射波2は点 B\mathrm{B} に直進します。

入射波2が点 B\mathrm{B} に到達する時刻を t=t1t = t_1 とします。t=t1t = t_1 にAを中心に広がった素元波(\gets ホイヘンスの原理による)を描いてみましょう。

t=t1の素元波

波の伝わる速さは入射波1・反射波・入射波2のいずれも等しい(ここでは vv とする)ので

  • (素元波の半径) = vt1v t_1
  • BC=vt1\mathrm{BC} = v t_1

がいずれも成り立ちます。

この瞬間の点 B\mathrm{B} を通る反射波の波面を描いてみましょう。

Bを通る反射波の波面

ここまでで証明の準備は整いました。二つの直角三角形 ABC,BAD\triangle ABC, \triangle BAD に注目しましょう。この二つの直角三角形が合同であることを示します。

まず斜辺について, 辺 AB\mathrm{AB} は共通です。

底辺について

AD=(素元波の半径)=vt1=BC \mathrm{AD} = \text{(素元波の半径)} = v t_1 = \mathrm{BC}

がいずれも成り立ちます。

斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいので

ABCBAD \triangle \mathrm{ABC} \equiv \triangle \mathrm{BAD}

が言えます。

このことから

  • BAC=90CAE=θ1\angle \mathrm{BAC} = 90^{\circ} - \angle \mathrm{CAE} = \theta_1
  • ABD=90BAD=θ2\angle \mathrm{ABD} = 90^{\circ} - \angle \mathrm{BAD} = \theta_2
  • BAC=ABD\angle \mathrm{BAC} = \angle \mathrm{ABD}

が成り立ちます。

したがって θ1=θ2\theta_1 = \theta_2 (反射の法則)が成り立ちます。

屈折の法則とホイヘンスの原理

同様の手続きで屈折の法則を証明しましょう。

入射波1が面に到達した時刻を t=0t = 0 として, その瞬間の波面を描いてみます。

t=0の波面

t=0t = 0 の後, 入射波1は屈折し, 入射波2は点 B\mathrm{B} に直進します。

入射波2が点 B\mathrm{B} に到達する時刻を t=t1t = t_1 とします。t=t1t = t_1 にAを中心に広がった屈折波の素元波を描いてみましょう。

t=t1の屈折波の素元波

ここで波の伝わる速さに関して注意が必要です。

領域1で波の伝わる速さは c1c_1, 領域2で波の伝わる速さは c2c_2です。

媒質が異なれば, c1c2c_1 \neq c_2 です。ここでは BC=c1t1\mathrm{BC} = c_1 t_1, 素元波の半径は c2t1c_2 t_1 です。

t=t1t = t_1 における点 B\mathrm{B} を通る屈折波の波面を描いてみましょう。

Bを通る屈折波の波面

ここまでで証明の準備は整いました。

図の幾何学的な関係から

sinθ1sinθ2=BC/ABAD/AB=BCAD=c1t1c2t1=c1c2=f1λ1f2λ2=fλ1fλ2=λ1λ2 \begin{aligned} & \dfrac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \dfrac{\mathrm{BC}/ \mathrm{AB}}{\mathrm{AD}/ \mathrm{AB}} \\ &= \dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AD}} \\ &= \dfrac{c_1 t_1}{c_2 t_1} \\ &= \dfrac{c_1}{c_2} \\ &= \dfrac{f_1 \lambda_1}{f_2 \lambda_2} \\ &= \dfrac{f \lambda_1}{f \lambda_2} \\ &= \dfrac{\lambda_1}{\lambda_2} \end{aligned}

が成り立ちます。

また(絶対)屈折率は、真空中の光速 cc を媒質中の速度 c1c_1 (or c2c_2)で割った値として定義されています。

すなわち, それぞれ

n1=cc1n2=cc2 n_1 = \dfrac{c}{c_1} \\ n_2 = \dfrac{c}{c_2} \\

と定義されています。

そのため c1c2=n2n1\dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{n_2}{n_1} が成り立ちます。

以上から, 屈折の法則が成り立ちます。

なお屈折の前後で波の振動数は変化しません。振動数は単位時間あたりに発せられた波の数と考えることができます。屈折は「違う媒質に進入して方向を変えるだけ」であり,その前後で波の数は変わりません。そのため, ここでは f1=f2=ff_1 = f_2 = f としました。

n12n_{12} について証明できていないのでは?」と思う方もいるかもしれません。

相対屈折率 n12n_{12}

n2n1=n12 \dfrac{n_2}{n_1} = n_{12}

が成り立つように定義されていると覚えましょう。定義なので証明方法はありません。

空気中から水中に屈折する場合, n12>1n_{12} > 1 なので θ1>θ2\theta_1 > \theta_2 (入射角 >> 屈折角)になります。

一方で水中から空気中に屈折する場合, n12<1n_{12} < 1 なので θ1<θ2\theta_1 < \theta_2 (入射角 << 屈折角)になります。

なお, n12<1n_{12} < 1 の場合には「全反射」と呼ばれる現象によって屈折の様子が大きく変わる可能性があります。全反射については別の記事で詳しく解説します。

子供の頃から当たり前だと思っていた「反射の法則」は必ずしも自明ではないというところが面白いです。

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