直流発電機

(1)一様な磁場内を運動する導体棒に生じる誘導起電力 $V$ は，下式で表現できる。(詳しくは 導体棒と誘導起電力 を参照)

$$V = l (\vec{v} \times \vec{B})_{\text{水平}} = l |v| |B| \sin{\theta}$$

ここで，$l$ は導体棒の長さ，$\vec{v}_e$ は導体棒の速度，$\vec{B}$ は磁場である。また，$()_{\text{水平}}$ は，導体に水平な方向の成分を表し，$\theta$ は $\vec{v}$ と $\vec{B}$ のなす角度とする。

いま，面 ABCD が角度 $\phi$ だけ回転したとき，導体棒 AB には下図のように誘導起電力が生じる。

導体棒 CD にも同様に誘導起電力が生じる。

一方，導体棒 BC 内の電子は下図のようにローレンツ力がはたらく。

このとき，$\vec{v} \times \vec{B}$ は導体棒 BC と直交するため，導体棒 BC にはたらく誘導起電力は 0 となる。

(2)いま，導体棒 AB の各点は，角速度 $\omega$ で半径 $l_x / 2$ の等速円運動をしていると考えられる。したがって，導体棒 AB の速さ $v$ は

$$v = \dfrac{l_x}{2} \omega$$

である。上図より，導体棒 AB にはたらく誘導起電力 $V_{AB}$ は

$$\begin{aligned} V_{AB} &= l_y \dfrac{l_x}{2} \omega B \sin{\phi} \\ &= l_y \dfrac{l_x}{2} \omega B \sin{\left( \dfrac{\pi}{2} - \omega t \right)} \\ &= \dfrac{\omega S B}{2} \cos{\omega t} \end{aligned}$$

同様にして，導体棒 CD にはたらく誘導起電力 $V_{CD}$ も

$$V_{CD} = V_{AB} = \dfrac{\omega S B}{2} \cos{\omega t}$$

$V_{AB}, V_{CD}$ の向きは下図のようになる。

したがって，面 ABCD の回転角がいずれでも，コイル面全体に発生する誘導起電力の大きさは，導体棒 AB・CD にはたらく誘導起電力の大きさの和で求められ，

$$V_{tot} = V_{AB} + V_{CD} = \omega S B \cos{\omega t}$$

(3)流れる電流は

$$I = \dfrac{V_{tot}}{r} = \dfrac{\omega S B}{r} \cos{\omega t}$$

例えば，$0 \leq t \leq \dfrac{2 \pi}{\omega}$ でグラフを描くと，下図のようになる。

(4)まず，向きも含めて，面ABCDを通る磁束を求める。このとき，磁場および磁束は電流をA→B→C→Dの向きに流す方向を正とする。

$\vec{B}$ の面 ABCD に垂直な方向の成分を $B_{\perp}$ とし，面 ABCD を通る磁束を $\Phi$ とする。

場合分けして考える。

(i)$0 \leq \omega t \leq \dfrac{\pi}{2}$ のとき

上図より

$$\Phi = - B_{\perp} S = - B S \cos{\left( \dfrac{\pi}{2} - \omega t \right)} = - B S \sin{\omega t} (< 0)$$

(ii)$\dfrac{\pi}{2} \leq \omega t \leq \pi$ のとき

上図より

$$\Phi = - B_{\perp} S = - B S \cos{\left( \omega t - \dfrac{\pi}{2} \right)} = - B S \sin{\omega t} (< 0)$$

(iii)$\pi \leq \omega t \leq \dfrac{3 \pi }{2}$ のとき

上図より

$$\Phi = - B_{\perp} S = - B S \cos{\left( \omega t - \dfrac{\pi}{2} \right)} = - B S \sin{\omega t} (> 0)$$

(iV)$\dfrac{3 \pi }{2} \leq \omega t \leq 2 \pi$ のとき

上図より

$$\begin{aligned} \Phi &= - B_{\perp} S = - B S \cos{\left( \dfrac{5 \pi}{2} - \omega t \right)} \\ &= - B S \cos{\left( \dfrac{ \pi}{2} - \omega t \right)} \\ &= - BS \sin{\omega t} (> 0) \end{aligned}$$

したがって，磁束の大きさは

$$|\Phi| = \begin{cases} BS \sin{\omega t} \quad \left( 0 \leq t \leq \dfrac{\pi}{\omega} \right) \\ -BS \sin{\omega t} \quad \left( \dfrac{\pi}{t} \leq t \leq \dfrac{2 \pi}{\omega} \right) \end{cases}$$

(5)ファラデーの電磁誘導の法則(電磁誘導とレンツの法則)より，面ABCDに発生する誘導起電力の大きさ $V'$ は，下式で表現できる。

$$V' = \left| \dfrac{d |\Phi|}{dt} \right|$$

上式より

$$\begin{aligned} V' &= \omega BS |\cos{\omega t}| \\ &= \begin{cases} \omega BS \cos{\omega t} \quad \left( 0 \leq t \leq \dfrac{\pi}{\omega}, \dfrac{3 \pi}{2 \omega} \leq t \leq 2 \pi \right) \\ -\omega BS \cos{\omega t} \quad \left( \dfrac{\pi}{\omega} \leq t \leq \dfrac{3 \pi}{2 \omega} \right) \end{cases} \end{aligned}$$

したがって，面ABCDに流れる電流の大きさ $|I'|$ は，

$$\begin{aligned} I' &= \dfrac{V'}{r} = \omega BS |\cos{\omega t}| \\ &= \begin{cases} \dfrac{\omega BS}{r} \cos{\omega t} \quad \left( 0 \leq t \leq \dfrac{\pi}{\omega}, \dfrac{3 \pi}{2 \omega} \leq t \leq 2 \pi \right) \\ -\dfrac{\omega BS}{r} \cos{\omega t} \quad \left( \dfrac{\pi}{\omega} \leq t \leq \dfrac{3 \pi}{2 \omega} \right) \end{cases} \end{aligned}$$

レンツの法則から誘導起電力および電流の向きを考える。上述(i)，(ii)，(iii)，(iv)の場合分けを元に考える。

(i)の場合は，電流をD→C→B→Aの向きに流す方向の磁場が増えるので，電流をA→B→C→Dの向きに流す方向に誘導起電力がはたらく。

(ii)の場合は，電流をD→C→B→Aの向きに流す方向の磁場が減るので，電流をD→C→B→Aの向きに流す方向に誘導起電力がはたらく。

(iii)の場合は，電流をA→B→C→Dの向きに流す方向の磁場が増えるので，電流をD→C→B→Aの向きに流す方向に誘導起電力がはたらく。

(iv)の場合は，電流をA→B→C→Dの向きに流す方向の磁場が減るので，電流をA→B→C→Dの向きに流す方向に誘導起電力がはたらく。

したがって，(i)・(iv)の場合の電流は正の向きで，(ii)・(iii)の場合の電流は負の向きである。これより面ABCDを流れる電流 $I'$ は

$$I' = \dfrac{\omega BS}{r} \cos{\omega t}$$

これは(3)の解と一致している。