自己誘導と自己インダクタンス｜回路に生じる逆起電力の導出

まず，自己誘導とは何かを理解するために，簡単な例を見ていきましょう。上の図では，2つのコイルがあり，コイルには電流が流れています。よく知られているように，空間に電流があると，磁場が生じます。では，上のような2つのコイルの作る磁場は，どのように表せるでしょうか。

磁場の生じる原因は，コイル1,2に流れる電流 $I_1,I_2$ なので，磁束は $I_1,I_2$ の関数になると考えられます。実は，コイルを貫く磁束の関数を，Maxwell方程式を解いて具体的に求めてみると、$I_1,I_2$ の線型結合になることがわかっています。(Maxwell方程式を解くのには，大学レベルの高度な知識が必要なので，省略しますが，理論的に確かめられていることです。)

すなわち，コイル1,2を貫く磁束をそれぞれ $\phi_1,\phi_2$ とすると， $$\begin{aligned} \phi_1&=L_{11}I_1+L_{12}I_2\\ \phi_2&=L_{21}I_1+L_{22}I_2 \end{aligned}$$ の関係が成り立ちます。ここで $L_{ij} (i,j=1,2)$ は係数です。その意味は次に解説します。

$$\begin{aligned} \phi_1&=L_{11}I_1+L_{12}I_2\\ \phi_2&=L_{21}I_1+L_{22}I_2 \end{aligned}$$ 上に与えられた磁束の表式を詳しく見ていきましょう。

$I_1,I_2$ の係数として，$L_{ij} (i,j=1,2)$ を用いています。ここで $i=j$ の時の係数，すなわち　$L_{11}$ と　$L_{22}$ は自己インダクタンスと呼ばれています。一般にコイルは，コイルに流れる電流によって，そのコイル自身を貫く磁束を生み出します。自己インダクタンスは，その磁束の大きさを表す係数です。

$i\neq j$ の時の係数，すなわち　$L_{12}$ と　$L_{21}$ は相互インダクタンスと呼ばれています。相互インダクタンスについては，別の記事で詳しく紹介しますが，異なるコイル同士の電流がお互いのコイルを貫く磁束を作る際の係数です。

発展　Neumannの公式

実は，自己インダクタンスや相互インダクタンスの表式は以下で与えられることがわかっています。

ここで $C_i,C_j$ は上の図のコイル1,2に対応しており， $\boldsymbol{x_i},\boldsymbol{x_j}$ は2つのコイルの接線方向の単位ベクトルです。 導出には，大学3年生レベルの数学と電磁気学の理解が必要です。

自己インダクタンスの理解を例題を通して深めていきましょう。

Ampereの法則やFaradayの法則については，以下の記事を参照してください。

マクスウェル方程式

上の例題の結果から，自己インダクタンス $L$ のコイルには，電流の流れる方向と逆向きの起電力が生じることがわかります。この起電力のことを逆起電力と言います。

また，一般にコイルを流れる電流が，そのコイル自身に作る起電力のことを，自己誘導起電力と言います。基本的に自己誘導起電力の求め方は，

に従えば良いですが，大学入試の問題には，「自己インダクタンスを無視する」といった注意書きがしばしばなされるので，注意が必要です。