オイラーの運動方程式・流線・ベルヌーイの定理の導出

定常流においては，$\dfrac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t}=0$ である。このとき，オイラーの運動方程式はポテンシャルエネルギー $U$ を用いて，$$(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{v}=-\nabla (U+P)$$と表せる。ただし $P=\int\dfrac{dp}{\rho}$ を用いた。ここでこの式の $x$ 成分を考える。$x$ 成分は，$$u\dfrac{\partial u}{\partial x}+v\dfrac{\partial u}{\partial y}+w\dfrac{\partial u}{\partial z}=-\dfrac{\partial}{\partial x}(U+P)$$となる。これに流線の式，$(u,v,w)=\left(q\dfrac{dx}{ds},q\dfrac{dy}{ds},q\dfrac{dz}{ds}\right)$ を代入すると，$$u\dfrac{\partial u}{\partial x}+v\dfrac{\partial u}{\partial y}+w\dfrac{\partial u}{\partial z}=q\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial s}+\dfrac{\partial u}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial s}+\dfrac{\partial u}{\partial z}\dfrac{\partial z}{\partial s}\right)=q\dfrac{du}{ds}$$ よって $q\dfrac{du}{ds}=-\dfrac{\partial}{\partial x}(U+P)$.

この左辺と右辺にそれぞれ，$\dfrac{1}{q}u=\dfrac{dx}{ds}$ の左辺と右辺をかけると，$$\dfrac{1}{2}\dfrac{du^2}{ds}=-\dfrac{\partial}{\partial x}(U+P)\dfrac{dx}{ds}$$.

$y$ 成分，$z$ 成分も同様に，$$\dfrac{1}{2}\dfrac{dv^2}{ds}=-\dfrac{\partial}{\partial x}(U+P)\dfrac{dy}{ds}$$

$$\dfrac{1}{2}\dfrac{dw^2}{ds}=-\dfrac{\partial}{\partial x}(U+P)\dfrac{dz}{ds}$$ $x,y,z$ 成分に関して両辺和をとると，$$u^2+v^2+z^2=q^2$$

$$\dfrac{\partial}{\partial x}(U+P)\dfrac{dx}{ds}+\dfrac{\partial}{\partial x}(U+P)\dfrac{dy}{ds}+\dfrac{\partial}{\partial x}(U+P)\dfrac{dz}{ds}=\dfrac{d}{ds}(U+P)$$ より，$$\dfrac{d}{ds}\left(\dfrac{1}{2}q^2+U+P\right)=0$$を得る。$s$は流線を記述するパラメータなので，結論を得る。

ベクトル解析の有名な定理として，以下の命題が同値になることが知られている。 $$\begin{aligned} &\mathrm{rot} \boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\\ &\iff\\ &\text{あるスカラーポテンシャル} \phi(\boldsymbol{r}) \text{が存在して，} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = -\mathrm{grad} \phi(\boldsymbol{r}) \text{が成立する} \end{aligned}$$ ここで，スカラーポテンシャル $\phi$ は定数の自由度を除いて一意に定まるものである。

さて，流体に渦がない時，$\boldsymbol{\omega=0}$ が成り立つ。 上記の定理により，ある適当な関数 $\phi$ を用いて $\boldsymbol{v}=\mathrm{grad\phi}$ とおくことができる。

オイラーの運動方程式の $x$ 成分は，$$\dfrac{\partial u}{\partial t}+u\dfrac{\partial u}{\partial x}+v\dfrac{\partial u}{\partial y}+w\dfrac{\partial u}{\partial z}=-\dfrac{\partial}{\partial x}(U+P)$$このとき渦度ベクトル $\boldsymbol{\omega=0}$ の条件より，$$\dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{\partial v}{\partial x},\dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial w}{\partial x}$$ が成り立つ。これをオイラーの運動方程式の $x$ 成分に代入すると，$$\dfrac{\partial u}{\partial t}+u\dfrac{\partial u}{\partial x}+v\dfrac{\partial v}{\partial X}+w\dfrac{\partial w}{\partial x}=-\dfrac{\partial}{\partial x}(U+P)$$ここで $q^2=u^2+v^2+z^2$ を両辺 $x$ で偏微分して，両辺を $2$ で割ると，$$u\dfrac{\partial u}{\partial x}+v\dfrac{\partial v}{\partial X}+w\dfrac{\partial w}{\partial x}=\dfrac{\partial \dfrac{q^2}{2}}{\partial x}$$ さらに速度ポテンシャルの表式は，$\dfrac{\partial u}{\partial t}=\dfrac{\partial}{\partial t}\dfrac{\partial\phi}{\partial x}＝\dfrac{\partial}{\partial x}\dfrac{\partial\phi}{\partial t}$

これらを代入して，$$\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial\phi}{\partial t}+\dfrac{1}{2}q^2+U+P\right)=0$$

同様の式が，$y,z$ 成分にも成り立つので，結論を得る。