「Please suggest that he use the railroad.」のようにthat以下の主語が三人称単数なのに動詞に-sがないのはなぜですか？この文は文法的に正しいのでしょうか、その理由を簡潔に教えてください。

これは命令・要求を表す「mandative subjunctive（要求法）」で、that以下の動詞は原形を使うため三人称単数でも-sがつきません。動詞 suggest, recommend, insist, demand, request などに続いて「〜することを提案する／要求する」を表す文で使われ、アメリカ英語では特に一般的です。イギリス英語では代わりに「that he should use the railroad」のように should + 原形を用いることもありますが、元の文は文法的に正しい表現です。