数学での「両辺に○○を掛ける」という操作に関する質問です（○○はxやx^2、r、pなど何でも）。

連立方程式を解くなどの際にいつも当然のようにやってきた処理ですが、よく考えてみるとこの○○が０の場合には、この処理の後の方程式は（0=0となり）何だって成立するようになってしまうため、この操作の前後で同値性が崩れていることに気付きました（すでに間違っていたら、それについて指摘していただけると嬉しく思います）。

「両辺二乗」が同値ではないのはもちろん認識しており、実際、両辺二乗という操作をする際には注意して行うようにしていたつもりですが、上の気付きが正しいとすると「両辺に○○を掛ける」をする際にも同じだけ注意しなくてはならないのか…、それにしては今まで問題なくやれていたような気がするし教科書等の解答と照らし合わせた時も問題なかったように見えたがどういうことだろうか…、といった疑問が生じました。

おそらく私が「同値変形」と「（連立）方程式を解く」の区別をちゃんとできていないことが問題なのではないかと考えていますが（こちらも違っていたら教えていただけると嬉しいです）、こうした疑問が生じてから、例えばグラフの接点や交点を求める際などに、どういう式操作ならしてもよくてどういう式操作がアウトなのか身動きが取れないような状態になっています（たとえば「同値変形じゃないから安全のためやめておこう」となって解答がそこで止まるということです）。

非常に基本的なレベルで理解が甘いのだと思いますが、具体的に何についての理解が甘いのか、どう理解すれば（やっていいものに対しては）自信を持って「両辺に○○を掛ける」という操作をできるようになるか、教えていただければと思います。

変な質問ですみません。

よろしくおねがいします。