離心率に関する極方程式

$$r = \dfrac{ea}{1 + e \cos \theta}$$

から、直交座標における（特に双曲線の）方程式を導く問題についての質問です。

途中、

$$r = \sqrt{x^2 + y^2}、x = r \cos \theta$$

を代入＆式変形して、

$$\sqrt{x^2 + y^2} = ea - ex$$

の形にした式を両辺二乗する瞬間がありますが（この時点ですでに間違っていたらすみません）、両辺二乗の前後でなぜ同値性が保存されているのがが分かりません。

同値性を杓子定規に保存しようとすると（具体的には両辺二乗した以後の式の横に$$「かつ 0 \geqq ea - ex」$$を付け加え続けていってみると）、最終的に、同値性を保存しようとして付加したこの不等式が、ちょうど準線から遠い方の曲線（〝双〟曲のうち遠い方の片割れ）を丸々カットすることを表す不等式になりますが、教科書の略解を見るとこのカットした側も含む双曲線の全体が答えとして記載されています。

おそらく、①どこか別の要素が両辺二乗の前後の同値性を担保してくれているのか、または、②両辺二乗という操作を避けて解答する方法があってそれが標準的な導き方なのか（見当外れでしたらすみません）、などと自分なりに考えていますが、とにかく分かりません。

よろしくおねがいします。

追記：

求める曲線上の点をP（x, y）と置いて、焦点（0, 0）と準線x=aとの距離比から等式を作ると、式の形としては上の両辺二乗直前の等式と同じ形が得られて、しかもこの場合は「両辺ともに表しているものは距離」ということになるから、安心して両辺二乗できるということには気付きました……。

このあたりが答えとして近くにありそうな気もしますが、それでも「離心率に関する極方程式から代入＆式変形して得られた式を両辺二乗していい理由」「そもそもそうした解き方が駄目ならその理由」など、やはり自分ではどうしても分かりません。

よろしくおねがいします。