離心率に関する極方程式

その疑問はもっともで、例えば「極方程式だから$r \geq 0$なので問題なし」とかいう説明は全く的外れで説明になっていませんね。

まず、極形式には$r \in \mathbb{R}$で表現する派と$r \geq 0$で表現する派があります。つまり前者は$r < 0$も認めるということです。

ここでは$r < 0$は$(r,\theta)=(-r,\theta + \pi)$と定義されます。これは図で書いてみるとわかりやすくて、$r$に$-1$をかけると極対称な点に移動するということです。

今回の問題は$r \in \mathbb{R}$派です。

なぜかというと、$\displaystyle r = \frac{ea}{1+e \cos \theta}$の$r$は$e>1$で負になり得るからです。$r \geq 0$しか認めないのであれば、この式はそもそも双曲線にはなりません。

これを踏まえて、同値変形を書いていきます。

$\displaystyle r = \frac{ea}{1+e \cos \theta}$

$\displaystyle \Leftrightarrow r(1+e \cos \theta)=ea かつ 1+e \cos \theta \neq 0$

　　(分母が$0$にはならない。煩雑になるので以降省略します)

$\displaystyle \Leftrightarrow r+er \cos \theta =ea$

$\displaystyle \Leftrightarrow r=ea-er \cos \theta$

$\displaystyle \Leftrightarrow \{r=ea-er \cos \theta または -r=ea+er \cos (\theta +\pi)\}$

　　(「または」でつないでいる二つは同じ式)

$\displaystyle \Leftrightarrow \{r=ea-er \cos \theta または r=-(ea-er \cos \theta)\}$

$\displaystyle \Leftrightarrow r^2=(ea-er \cos \theta)^2$

　　($a^2=b^2 \Leftrightarrow$ a=b または a=-bより)

$\displaystyle \Leftrightarrow x^2+y^2=(ea-ex)^2$

こんな感じで$r=f(\theta)$を一度$r=f(\theta)$と$-r=f(\theta + \pi)$に複製して示すことができます。

ちなみに$r \geq 0$派ではこの問題はどうなるかというと、

「極方程式$\displaystyle r=\frac{ea}{1+e \cos \theta}$または$\displaystyle r=\frac{-ea}{1-e \cos \theta}$の表す曲線を、直交座標に関する方程式で表せ。」

となります。