対称式の問題です。解法を教えてください。

こういう問題は$1024$乗という大きな数を考える前に$2$乗などの小さい数から考えると良いでしょう（なお根号があるので$2$乗が良い）。

やってみると、

　$(z+\frac{1}{z})^2=\sqrt{3}^2\implies z^2+2z \cdot \frac{1}{z} +\frac{1}{z^2}=3\implies z^2+\frac{1}{z^2}=1$

となることがわかります。

そして、$1024$乗が$2^{10}$乗であることを考えながらそれを目指してもう一度$2$乗してみると、

　$(z^2+\frac{1}{z^2})^2=1^2\implies z^4+2z^2 \cdot \frac{1}{z^2} +\frac{1}{z^4}=1\implies z^4+\frac{1}{z^4}=-1$

となります。

まだ規則性が出てこないのでもう一度行います。

　$(z^4+\frac{1}{z^4})^2=(-1)^2\implies z^8+2z^4 \cdot \frac{1}{z^4} +\frac{1}{z^8}=1\implies z^8+\frac{1}{z^8}=-1$

これ以降の操作は変わらないので、$z^{1024}+\frac{1}{z^{1024}}=-1$ だとわかります。

このように、極端に大きな数が出てくる時は、小さな数から繰り返していって規則性を見つけることが鍵になります。

特に、$2$の累乗 $(\cdots,64,128,256,512,1024,2048,4096,\cdots)$ はこの傾向が強いです。