このピンクのところの2行目から3行目になる理屈がわかりません。教えて頂きたいです。

$2$ 階線形微分方程式を解けるようになっておきましょう。もし大学 $1$ 年生であれば、来年以降に学習するのかもしれません。

その場合は、「単振動する質点の位置は三角関数で記述できる」で理解しておくとよいと思います。これは高校物理でも出てきますね。

以下、微分方程式を解きます。

一般に、$y$ が $x$ の関数であるとして、定数 $a$ に対して $\ddot{y}=-a^2 y$ となる関数 $y$ を求める微分方程式を考えます。これを変形すると、

$$\ddot{y}=-a^2 y \iff (D^2+a^2)y=0$$

の形になります。ここで、$D$ は微分演算子と呼ばれるもので、$D=\dfrac{d}{dx}$ であり、左側から作用して右側にある関数を $x$ で微分するというものです。今回は $2$ 回微分しているので $D^2$ となります。

ここで、$y$ の左側に作用している $D$ の多項式を $P(D)$ とおくと、$2$ 階微分方程式では $P(D)$ は $D$ の $2$ 次式となります。

このとき、方程式 $P(D)=0$ が $D=\lambda$ を解にもてば、$y=Ce^{\lambda x}$ は、この微分方程式の解の $1$ つとなります。$C$ は任意定数といい、$x$ によらない定数です(不定積分で積分定数が出てくるのと同じことです)。$2$ 階微分方程式では、任意定数は $2$ つ出てきます。

方程式 $P(D)=0$ は、

$①$ 異なる $2$ つの実数解をもつ場合

$②$ 重解(=ただ $1$ つの実数解)をもつ場合

$③$互いに共役な $2$ つの虚数解をもつ場合

の $3$ つがありますが、今回は $③$ のみを考えましょう。

$③$ の場合では、実数 $\alpha,\beta$ に対して虚数解を $\alpha\pm\beta i$ とすると、微分方程式の一般解は $y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$ と表されます。

(三角関数が出てくる理由は詳しく述べませんが、$e^{ix}=\cos x+i\sin x$ から出てきます。)

$P(D)=D^2+a^2$ なので、解は $\pm ai$ です。このとき、$\alpha=0,\beta=1$ なので、この微分方程式の解は

$$y=C_1\cos x+C_2\sin x$$

となります。合成しても同じなので、

$$y=A\cos(x+\phi)$$

となります。

長くなりましたが導出は以上となります。

$y$ を $\xi$ に、$a$ を $\omega$ に置き換えると上の式が、

$y$ を $\zeta$ に、$a$ を $\omega^2+\omega'^2$ に置き換えると下の式が出てきます。