数学の質問です。

$F(x,y)=0 \quad (y\neq0)$ のグラフと $\dfrac{F(x,y)}{y}=0$ のグラフが同じグラフであると言えるのはなぜでしょうか？ $y\neq0$ なので両辺 $y$ で割ることが出来ると言うのは勿論承知して居ますが、両辺 $y$ で割ると（ $F(x,y)=0$ のグラフと $x$ 軸 $y$ 軸の交点は変わらないとしても）グラフ（グラフ上のそれぞれの点に置ける微分係数や極地、変曲点など）は変わって終うのではないかと思いました。

因みに、軌跡の問題を解いて居る時に出て来た疑問です。自分が解いて居た問題では、前提条件が $y\neq0$ で、計算すると、軌跡の方程式が $y$ に就いての多項式となり（定数項は $0$ ）最後に両辺 $y$ で割ってそれを解答としていました。

回答宜しくお願い致します。

補足

訂正です。 $4$ 行目です。

誤：極地

正：極値

失礼しました。

ベストアンサー

@hogehoge

2024/12/15 17:48

すでに別の方が回答しているとおりですが、ここでいうグラフというのは、方程式を満たすような点(これを一般に解と言います) $(x,y)$ 全体からなる集合のことです。すなわち前者は $F(x,y)=0 \; (y \neq 0)$ を満たすような点 $(x,y)$ 全体からなる集合 $\bigl\{ (x,y) \,|\, y \neq 0, F(x,y) = 0 \bigr\}$ のことであり、後者は $\bigl\{ (x,y) \,|\, y \neq 0, F(x,y)/y = 0 \bigr\}$ です。

$y \neq 0$ であるような $(x,y)$ に対して、 $F(x,y) = 0$ であるためには $F(x,y)/y = 0$ であることが必要かつ十分ですから、この2つの集合は一致する、すなわちグラフは一致します。( $z = F(x,y)$ と $z = F(x,y)/y$ のグラフが等しい、のような主張が展開されているわけではないので注意してください。もちろんこれらは一般には異なります。)

返信(3件)

@kakko_pn

2024/12/15 19:35

回答ありがとうございます。

何となく分かりました。ありがとうございます。

因みにもう片方の方の回答者さんの返信欄の私の返信は合って居ますでしょうか？hogehogeさんの回答を読んだ後だと、自分の元々の考えは多分間違って居たと思うのですが…

@hogehoge

2024/12/16 0:17

変数で割るとかいったことに限らないですが、大事なのはその変形が同値であるかどうかという点です。

例えば、 $x(x+1) = 0$ に対して両辺を $x$ で割って $x+1 = 0$ としてもこの二つは同値ではなく、 $x+1 = 0$ が $x(x+1) = 0$ であるための十分条件にしかなっていませんから、これによって全ての解を求めることはできません。一方で $x^2 = 1$ に対し、それを $x$ で割った式 $x = 1/x$ を考えると、解が不変( $x_0$ を前の方程式の解、すなわち ${x_0}^2 = 1$ とすると $x_0 \neq 0$ であるから、両辺を $x_0$ で割ると $x_0 = 1/x_0$ となり、 $x_0$ は後の方程式の解であることがわかる。逆に $x_0 \neq 0$ を後の解とすると、両辺に $x_0$ をかけることで $x_0$ は前の解であることがわかる)ですからこの操作を行うことには問題がありません。したがって変数で割っても良いかどうかはその時々によって異なります。