画像の問題の(1)において、自分が見つけたどの解説を見ても

$\int_{0}^{2-\frac{1}{n}}\dfrac{f(x)}{2-x}dx\geqq\int_{0}^{2-\frac{1}{n}}\dfrac{1}{2-x}dx$

と書いてあるのですが、なぜ $>$ でなく $\geqq$ なのでしょうか？

等号が成り立つとすればどのような場合でしょうか？

確かに $0\leqq x \leqq 2-\dfrac{1}{n}$ の場合において $f(x)\geqq1$ ですが、 $n$ は正の整数であり、かつ積分範囲が $2-\dfrac{1}{n}>0$ であり、かつ $f(x)$ が増加関数である以上、等号が成り立つことはないと思います。

もし「 $\geqq$ は $>$ または $=$ のことなので、等号が成り立たなくても使って良い」のならば、(定義域等の関係で明示的に含まないことを主張したい場合を除き) $>$ を使う必要性を感じません。

※本件は2022年名古屋大学理系数学4を引用させていただいております。

ベストアンサー

@sHlcNRe46

2024/8/12 16:33

等号が成り立つのは、積分範囲において恒等的に等号が成り立つときです。

今回であれば、 $0\leqq x \leqq 2-\dfrac{1}{n}$ において $f(x)\equiv1$ であるときです。

問題文で $f(x)$ は増加関数と言われているので、今回は等号が成り立つことはありません。

おっしゃる通り、等号があってもなくても変わらないので、より緩い条件である等号付きの不等号を考えているのだと思います。

返信(1件)

@0001

2024/8/12 17:38

そうであるならば、明示的に含んではいけない場合を除けば、 $>$ の代わりに $\geqq$ を使い続ければよいのではないでしょうか？

例えば

「 $f(x)=e^{x}$ 、 $g(x)=x-1$ とし、 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ と $x=0$ と $x=1$ で囲まれた部分の面積を求めよ。」

という問題を考えます。

「 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ の上下関係を調べるために、 $h(x)=f(x)-g(x)$ という関数を導入し、 $h'(x)$ を計算すると $h'(x)=e^{x}-1=0$ となる $x$ は $x=0$ であるから、増減表を書くと（略）となり、 $x=0$ で最小値をとることがわかる。したがって $h(x)>0$ であるから、面積は $h(x)$ を0から1まで積分すれば良い。」