• 解決済み

    @cy03

    2024/7/25 11:40

    1 回答

    問題の3の解き方を教えてください！

    よろしくお願いいたします。

    1. 高校生
    2. 数学
    3. 数学Ⅰ・A

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    @sHlcNRe46

    2024/7/31 3:20

    f(x)=x2−4ax+4a+8=(x−2a)2−4(a+1)(a−2)\begin{aligned}f(x)&=x^2-4ax+4a+8 \\&=(x-2a)^2-4(a+1)(a-2)\end{aligned}

    f(1)=9>0f(1)=9>0 なので、f(0)=4a+8<0  ⟺  a<−2f(0)=4a+8<0\iff a<-2 であれば、0<x<10<x<1 の範囲で xx 軸とちょうど 11 つの共有点をもつ。


    f(0)=4a+8>0  ⟺  a>−2f(0)=4a+8>0\iff a>-2 のとき、0<x<10<x<1 の範囲で xx 軸と少なくとも 11 つの共有点をもつための必要十分条件は、

    0<2a<1 かつ −4(a+1)(a−2)<0  ⟺  0<a<12 かつ a<−1,2<a\begin{aligned}&0<2a<1 \text{ かつ }-4(a+1)(a-2)<0 \\\iff &0<a<\dfrac{1}{2} \text{ かつ }a<-1,2<a\end{aligned}

    となって、これを満たす実数 aa は存在しない。


    以上より、求める範囲は a<−2a<-2 である。



    解の存在範囲という題材で、

    判別式(=頂点の yy 座標)・軸(=頂点の xx 座標)・区間の端点の 33 つに注意することや、区間の端点が異符号の扱いなどをおさえておきたいところです。

    有名問題なので理解しておくとよいと思います。

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