(1+√6+√7)/2の小数部分はどう求めるのですか？

小数部分を求めたいときは整数部分から求めると大丈夫です。当たり前ではありますが、　$(全体の数)=(整数部分)+(小数部分)$　ですから、

まず$\sqrt{6}+\sqrt{7}$の整数部分を考えます。

$$(\sqrt{6}+\sqrt{7})^2=13+\sqrt{168}$$

$\sqrt{168}$を近い整数で挟むと、　$12=\sqrt{144}<\sqrt{168}<\sqrt{169}=13$ つまり、$(\sqrt{6}+\sqrt{7})^2の整数部分は25$となります。そしたら、$\sqrt{6}+\sqrt{7}の整数部分は5$で

あるとおのずとわかり、$\dfrac{1+\sqrt{6}+\sqrt{7}}{2}の整数部分は3$になりますね。したがって、求めたい小数部分は

$$\dfrac{1+\sqrt{6}+\sqrt{7}}{2}-3=\dfrac{-5+\sqrt{6}+\sqrt{7}}{2}　……(答)$$

となります。