以下のようなある数のルート乗や虚数乗はどうなりますか

【無理数乗について】

　指数に入るものとして，やはり原始は正整数ですが，

「正整数→非正整数→有理数→無理数」と拡張することが可能です．例えば $2^{\sqrt{3}}$ であれば，$\sqrt{3}\approx 1.73205$ より，既存の「有理数が指数である場合」の考え方を用いて

$$2^{1},\quad 2^{1.7},\quad 2^{1.73},\quad 2^{1.732},\cdots$$

の収束値を求めればOKです．

【 $i$ 乗について】

　$2^{i}$ を例に挙げて説明します．

少々天下り的ですが（詳細は追々調べてみてください），

$$2^{x}=e^{x\log_{e}{2}}$$

と変形することによって，Eulerの公式から

$$2^{i}=e^{i\log_{e}{2}}=\cos{\log_{e}{2}}+i\sin{\log_{e}{2}}\approx 0.77+0.64i$$

が得られます．