確率についての問題を教えてください。袋の中に、赤玉、青玉、黄玉がそれぞれ２個ずつ、合計６個の玉が入っている。この袋の中

Question

確率についての問題を教えてください。

袋の中に、赤玉、青玉、黄玉がそれぞれ２個ずつ、合計６個の玉が入っている。この袋の中身をよくかきまぜ、袋の中から玉１個ずつ取り出す作業を行う。ただし、取り出した玉は袋の中に戻さないものとする。すでに取り出された玉と同じ色の玉が取り出された時点で、この作業を止める。

k回目の作業が最後の作業であるとする。このとき、回数kの期待値を求めよ。

@sHlcNRe46 · Accepted Answer

$k=2$ となるのは、 $2$ 回目に $1$ 回目と同じ色を取り出すときだから、

$P(k=2)=\dfrac{1}{5}$ である。

$k=3$ となるのは、 $2$ 回目に $1$ 回目と異なる色を取り出し、さらに $3$ 回目に $1$ 回目または $2$ 回目と同じ色を取り出すときだから、

$P(k=3)=\dfrac{4}{5}\times\dfrac{2}{4}=\dfrac{2}{5}$ である。

$2$ 回目に $1$ 回目と異なる色を取り出し、かつ $3$ 回目に $1,2$ 回目と異なる色を取り出すと、 $4$ 回目には必ず同じ色が取り出されるから、

$P(k=4)=\dfrac{4}{5}\times\dfrac{2}{4}\times1=\dfrac{2}{5}$ である。

よって、求める期待値 $E$ は、

$\begin{aligned}E&=2\times\dfrac{1}{5}+3\times\dfrac{2}{5}+4\times\dfrac{2}{5}\\&=\dfrac{16}{5}\end{aligned}$ である。

なお、 $P(k=4)=1-\left(P(k=2)+P(k=3)\right)$ と計算しても同じ値が得られます。