図形の性質についての問題で、条件と図は下の通りです。

まずは方べきの定理を使って、出せるところはすべて出してしまいましょう。

$PEとCDをそれぞれ求めます。$

$$EP×(2+EP)=3×6　　2×(2+CD)=3×6$$

$$EP=\sqrt{19}-1　CD=7　と出ます。$$

すると、　$PD=9,PF=\sqrt{19}+1$が分かります。これが何かと言いますと、△PDF∽△PECが導出できるのです。詳しく説明すると、

$$PC:PE=2:\sqrt{19}-1,PF:PD=\sqrt{19}+1:9$$

この両者の比が等しいのです(確かめてみてください)。さらに、∠CPE=∠FPDが等しいことから、前述の相似が言えます。そうすれば、

おのずと $CE:FD=\sqrt{19}-1:9$ と答えが出てきます。

図形を見て、ここら辺が相似っぽいかな？みたいなところから突破口が見える時もあるので、直感でみてみることも大切だと思います。今回はそのいい例といえますかね…

ーなにかあればご返事くださいー