解説お願いします(答えは持っていないです)

Question

@Enigmathematics · Accepted Answer

冗長になるといけなかったのでところどころ計算過程を省いていますがご了承ください🙇

まず曲線の概要を掴みたいので軌跡の点を $(s,t)$ と置きます。すると条件を満たす $s,t$ の方程式は、

$|t-1|+|\sqrt{s^2+t^2}-2|=2$

となることが分かるかと思います。そして、絶対値がついているので場合分けをします。

$(ⅰ)\sqrt{s^2+t^2}-2≦0のとき、$

$|t-1|+2-\sqrt{s^2+t^2}=2\\⇕\\(t-1)^2=s^2+t^2　　整理して、\\t=\dfrac{-s^2+1}{2}$

また、 $\sqrt{s^2+t^2}-2≦0$ より、この曲線は原点中心の半径 $2$ の円周を含む円の内部に存在するので、曲線との交点を求めてあげると、 $-\sqrt{5}≦s≦\sqrt{5}$ というのが出てきてこれが曲線の範囲となります。(実際に描画してみた方が分かりやすいです)

$(ⅱ)\sqrt{s^2+t^2}-2≧0のとき、$

$|t-1|-2+\sqrt{s^2+t^2}=2\\⇕\\\sqrt{s^2+t^2}=4-|t-1|$

ここでさらに場合分けをします。

$(ア)t≧1のとき$

両辺を二乗して、

$s^2+t^2=(t-5)^2　整理して、\\t=\dfrac{-s^2+25}{10}$

ただし、 $tに範囲の制約があるので、-\sqrt{15}≦s≦\sqrt{15}$ を得る。

さらに、 $\sqrt{s^2+t^2}-2≧0$ も考える必要があり、交点を調べると

実数の範囲に持たないことが分かるのでこの範囲の影響を受けないことが分かる。

$(イ)t≦1のとき$

$s^2+t^2=(t+5)^2　整理して、\\t=\dfrac{s^2-9}{6}$

$tの範囲を考慮し同様に考えて、-\sqrt{15}≦s≦\sqrt{15}$ を得る。

また同様に $\sqrt{s^2+t^2}-2≧0$ を考えて、　 $s≦-\sqrt{5},\sqrt{5}≦s$ が導出される。

以上より曲線の概要は画像の通り。ここから積分をするだけなので、

求める面積を範囲をしっかりと見定めてあげれば、

$(曲線Cの面積)=\int_{-\sqrt{15}}^{-\sqrt{5}}\left( \dfrac{-x^2+25}{10}- \dfrac{x^2-9}{6}\right) dx\\+\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}}\left( \dfrac{-x^2+25}{10}- \dfrac{-x^2+1}{2}\right) dx\\+\int_{\sqrt{5}}^{\sqrt{15}}\left( \dfrac{-x^2+25}{10}- \dfrac{x^2-9}{6}\right) dx$