数学の質問です。

$\frac{a}{2}+\frac{1}{a}\gt\sqrt{2}$（但し、$a\gt\sqrt{2}$）であることを相加平均と相乗平均の大小関係を使って示したいのですが、どのタイミングで$\frac{\frac{a}{2}+\frac{1}{a}}{2}\geqq\sqrt{\frac{a}{2}\cdot\frac{1}{a}}$の$=$の可能性を排除すれば良いのでしょうか？またどの様に記述するのが適切でしょうか？手本を頂けると幸いです。

回答宜しくお願いします。