これの正しい答えは

これが正攻法じゃない気がしてならないけど、書いていきます。

$n-1$回目までの試行での問題の条件、すなわち「赤玉が出ず、それ以外が少なくとも一回ずつ出る事象」を$U$とします。さらに、$n-1$回目までの試行で、

赤玉が一回も出ない事象を$R$とし、同様に白は$W$、青は$B$、黄は$Y$とします。

求める確率は、$n$回目を考慮すると$\dfrac{1}{4}P(U)$なので、$P(U)$を求めます。

$U=R \cap \overline{W} \cap \overline{B} \cap \overline{Y}$

$=\overline{\overline{R} \cup W \cup B \cup Y}$　(ド・モルガンの法則)

こっからごちゃごちゃします。

$1-P(U)=P(\overline{U})$

$=P(\overline{R} \cup W \cup B \cup Y)$

$=P(\overline{R})+P(W)+P(B)+P(Y)$

　$-P(\overline{R} \cap W)-P(\overline{R} \cap B)-P(\overline{R} \cap Y)$

　$-P(W \cap B)-P(W \cap Y)-P(B \cap Y)$

　$+P(\overline{R} \cap W \cap B)+P(\overline{R} \cap W \cap Y)+P(\overline{R} \cap B \cap Y)+P(W \cap B \cap Y)$

　$-P(\overline{R} \cap W \cap B \cap Y)$ 　(包除原理)

これは、事象の対称性と$P(\overline{A} \cap B)+P(A \cap B)=P(B)$より、

$1+2P(R)-3P(\overline{R} \cap W)-3P(R \cap W)+3P(\overline{R} \ca W \cap B)+P(R \cap W \cap B)-P(\overline{R} cap W \cap B \cap Y)$

$1-P(R)+3P(R \cap W)-3P(R \cap W \cap B)+P(R \cap W \cap B \cap Y)$とできます。

$P(U)=P(R)-3P(R \cap W)+3P(R \cap W \cap B)-P(R \cap W \cap B \cap Y)$

それぞれ値を代入して、(簡単なので確率の導出は省かせてください。)

$P(U)=\bigg(\dfrac{3}{4} \bigg)^{n-1}-3 \bigg(\dfrac{2}{4} \bigg)^{n-1}+3 \bigg(\dfrac{1}{4} \bigg)-0$

よって、求める確率は

$\dfrac{1}{4}P(U)=\dfrac{3^{n-1}-3*2^{n-1}+3}{4^n}$

4つの事象の包除原理を使っているので、普通の高校生にこの方法は難しいかもしれないです、、、