解の公式は複素係数の時にも使えますか？

条件付きで使えます。例として2次方程式の複素係数版の解の公式を導出します。

$αz^2+βz+γ=0(α \neq 0)$

両辺$α$で割る

$z^2+\frac{β}{α}z+\frac{γ}{α}=0$

平方完成する

$z^2+\frac{β}{α}z+\frac{β^2}{4α^2}-\frac{β^2}{4α^2}+\frac{γ}{α}=0$

$(z+\frac{β}{2α})^2=\frac{β^2-4αγ}{4α^2}$

両辺$\frac{1}{2}$乗する

$z+\frac{β}{2α}=(\frac{β^2-4αγ}{4α^2})^{\frac{1}{2}}$

$z=-\frac{β}{2α}+(\frac{β^2-4αγ}{4α^2})^{\frac{1}{2}}$

ここで、$4α^2$の平方根は$\pm 2α$であるから、

$z=-\frac{β}{2α} \pm \frac{(β^2-4αγ)^{\frac{1}{2}}}{2α}$

$z=\frac{-β \pm (β^2-4αγ)^{\frac{1}{2}}}{2α}$

複素数$β^2-4αγ$の絶対値を$Δ$、偏角を$θ$とすると、

$(β^2-4αγ)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{Δ}(\cos \frac{θ}{2}+i \sin \frac{θ}{2})$

よって、複素数係数2次方程式の解の公式は、

$z=\frac{-β \pm \sqrt{Δ}(\cos \frac{θ}{2}+i \sin \frac{θ}{2})}{2α}$

となる。

ちなみに、$\sqrt{複素数}$という書き方はお勧めしません。