写真の赤文字で書かれた式を2つのやり方で解いたのですが、答えが違ってしまいます。おそらく左の解き方が間違いだと思うのですが、どこが間違っているのでしょうか？

左の場合分けのところで間違いが発生しているのでそこを直しますが、その前に右の回答の方を精査しておきます。

④の方ですが、　$0<c<1$より、不等式の解は同じく　$0<c<1$となります。

従って答えは、　

$$0<c<1、　1<c<\frac{3}{2}$$

と、$c≠1$を織り込んだ不等式の範囲となります。続いてこれを踏まえて本題に入ります。$(ⅰ)$の方はただしいんですが、$(ⅱ)$の方に問題があります。

$$2-\dfrac{1}{c-1} について$$

これを分数関数としてみたときのグラフを下にプロットしておきます。

確かに $c=\frac{3}{2}$で正負が反転しますが、さらに$c=1$を境にグラフの振舞いが反転しているのでここも考えないといけません。つまり、

$$2-\dfrac{1}{c-1}$$

というのは、

$$0<c<1のとき正、　1<c<\frac{3}{2}のとき負$$

これで場合分けを行います。

$(ア)　0<c<1$のとき

与式は、$c<1$とできるので、　$0<c<1$が導かれる

$(イ)　1<c<\frac{3}{2}$のとき

与式は、$c>1$とできるので、$1<c<\frac{3}{2}$が導かれる

したがって、

$$0<c<1、　1<c<\frac{3}{2}$$

となり両者の回答が一致しました。

今回のように場合分けをする際には分数関数のような厄介なものもあるのでグラフの概形をイメージしてみるとよいかと思います。