友人からの問題↓です.Rが最小となるようなときの点Pをその位置からほんの少し動かすことを考えると直感的に共有点を2つ以上持つ気がするのですが,こんがらがってしまったので教えて下さい.

　ざっくりと解説をば。

　(私の実力では証明は出来ないのですが、理解の一助になれば幸いです。)

　ひょっとして、問題の意図を誤って解釈しているのではないでしょうか？

　問題によれば、「閉曲線Cの中に点Pがいて、点Pが定まると円Rがようやく定まる」という構造になっています。しかし、質問主さんの「点Pをその位置からほんの少し動かすことを考えると直感的に共有点を2つ以上持つ気がする」というのは、「定まったはずの円Rを、点Pとともに動かしてしまえ」ということが起きていませんか？(図の＜質問主さんの頭の中(推測)＞参照)これは問題に合っていません。

　問題できいているのは、「閉曲線Cの内部に点Pがあり、＜条件＞を満たす円Rのうち、面積が最小となるとき」のことです。この＜条件＞とは、＜点Pを中心とし、閉曲線Cと少なくとも1つ共有点を持つ円のうち、面積が最大となる＞です。

　ややこしいので、もう少し簡潔に。「面積が最大となる円Rのうち、面積が最小となるもの」を考えよと。そう言っているのです。図にも描いてみましたので、＜問題できいていること＞を参考になさってください。

　ここまで理解できれば、あとは簡単かと。

　まずはたくさん共有点をもつことを考えてみましょう。閉曲線Cが複雑な形なら、どれだけでも増やせそうです。(＜図1＞参照)

　では、共有点を減らすために…閉曲線Cをなるべく簡素な形にすれば良いのでは？ということで円にしてみましょう。すると、今度はどこもかしこも共有点だらけ。無限個になってしまいました。(＜図2＞参照)

　でもこれでヒントは得られましたね。円に近いけど、ちょっとだけ円を変形させた形…例えば楕円のような形のとき、共有点が最も少なそうです。このとき、共有点は2個です。(＜図3＞参照)

　確認のために、共有点が1個だけのパターンを無理矢理つくってみましょう。＜図4＞を参考にすると、上の共有点の反対側あたり(下の方)にまだまだ余白があります。この場合、点Pをもう少し上に取ることで、＜条件＞を満たす円Rをもっと小さくすることができそうですね。これでは、円Rの面積が最小であることに矛盾が生じてしまいます。そして点Pの位置を修正することで円Rが最小になったとき、共有点は2個ですね。

　以上から、共有点は2個以上です。