数学の問題文の記号化について

①

述語論理はたった $2$ つの構文しかもちません。

(1)　$\forall x \in A,\ P(x)$

(2)　$\exists x \in A,\ P(x)$

(1) の方は

「集合 $A$ の任意の元 $x$ に対して $P(x)$ が成り立つ」

などと訳せばよく，(2) の方は

「集合 $A$ のある元 $x$ に対しては $P(x)$ が成り立つ」

などと訳せばよいです。

「$\forall x\ [P(x) \Longrightarrow \exists y,\ Q(y)]$」「$\exists x\ [P(x) \land \exists y,\ Q(y)]$」

などはそれぞれ

「$\forall x \in \{t \mid P(t)\},\ \exists y,\ Q(y)$」「$\exists x \in \{t \mid P(t)\},\ \exists y,\ Q(y)$」

の言い換えに過ぎないので，結局 (1), (2) の形に帰着します。

どの文も必ず (1) か (2) か（あるいは全称量化も存在量化もしない原子命題か）の形をとり，例外はありません。そして (1), (2) は上に示したように直訳可能なので，どの文も機械的に翻訳できます。

②

述語論理は $1$ つの言葉づかいにすぎないと思います。記号的に表現された命題は，たとえば全称量化と存在量化とが入れ子になった複雑な命題の否定形をとりたいときなどに有用ですが，それ以外の場面ではかえって読みにくく分かりにくいです。

だから述語論理だけでなく別の言葉づかいに慣れるのがよいと思います。何かしらの言葉づかいで問題を言い表わせたなら，それを述語論理へ翻訳するのは機械的な作業です。

例にあがっている問題なら，たとえば，

「関数 $f(x) = x^2 - 2kx$ の像が区間 $(-1,\infty)$ を覆うというとき，$k$ はどのような値をとるべきか？」

と読み下してから，

「条件 $\forall y \in (-1,\infty),\ \exists x \in \mathbb{R},\ y = x^2 - 2kx$ を満たす $k$ を求めよ」

と翻訳することができます。

他の人が議論するのを聞いたり，自分でも議論してみたりして，自分なりの分かりやすい言葉づかいを作りあげていくのが近道だと思います。