至急です。画像の（2）です。お願いします。

球がいったいどのように正八面体と接しているのかを考えないといけません。

@userjuko88さんの接面図形が少し間違っているところがあって、球と正八面体が接している部分というのは中心から最も近いところである面(正三角形)の中心にあります。したがってこう考えることが出来ます。

正八面体を下のように八分割したものを見てみましょう(下手ですみません🙇)

こう見ると、この三角錐の正三角形を底面としたときの高さに当たるのが球の半径に当たるのが分かります。これがあればすぐに求まります。

$$(正八面体の体積)=8×(三角錐)$$

$$\dfrac{125\sqrt{2}}{3}=8×\left(\dfrac{5^2\sqrt{3}}{4}×r×\dfrac{1}{3}\right)$$

$$∴r=\dfrac{5\sqrt{6}}{6}$$