実数xが存在しないためのkの条件を求めたいのですが、考え方が分からないので教えていただけると助かります。

①は、$k>-1$ の場合は $-1<x<\dfrac{2k-1}{3}$ であり、$k\leqq-1$ の場合はこの不等式を満たす実数 $x$ が存在しません。

②は、どのような実数 $k$ に対しても、$x<-1 \text{ または }\dfrac{6k-1}{3}<x$ です。

これを同時に満たす $x$ が存在しなければよいので、その範囲を考えます。

まず、$k\leqq-1$ のとき、①を満たす実数 $x$ が存在しません。つまり、②の状況にかかわらず、①と②を同時に満たす実数 $x$ は存在しません。

$k>-1$ のときは、①と②の解が重ならなければよいので、

$$\dfrac{2k-1}{3}\leqq\dfrac{6k-1}{3} \iff k\geqq0$$となります。これは $k>-1$ を満たすので、求める範囲は合わせて$$k\leqq-1,k\geqq0$$となります。

数直線を描いて整理すると視覚的でわかりやすくなると思います。

また、等号がつくかつかないかは場合によって異なるので、その都度考えてください。今回だと、$\dfrac{2k-1}{3}=\dfrac{6k-1}{3} \iff k=0$ だった場合、$x=-\dfrac{1}{3}$ は①も②も満たしません。つまり条件に当てはまるので、等号がつきます。